2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Как найти угол внутри четырёхугольника
Сообщение11.08.2017, 22:07 


07/10/15

2400
Пожалуйста помогите решить задачу. Есть четырёхугольник, пересечённый двумя диагоналями:
Изображение

исвестны углы $ ABD, BDA, DAB, DBC, BCD, CDB $
требуется найти угол $ ACB $

Подскажите хотябы путь решения. Сколько уравнения я не составлял - в итого всё сокращается

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти угол внутри четырёхугольника
Сообщение11.08.2017, 22:13 


19/05/10

3940
Россия
Как нибудь так. $BD$ за единицу, потом по т. синусов находим стороны, потом проекции $A$ и $C$ на $BD$ и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти угол внутри четырёхугольника
Сообщение11.08.2017, 22:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Andrey_Kireew, а вы как решали -- только через углы? Это не получится: жесткость конструкции придает то, что треугольники $ABD, BCD$ имеют общую сторону. Так что надо как-то использовать длины сторон: например так, как предложил mihailm.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти угол внутри четырёхугольника
Сообщение11.08.2017, 22:33 


07/10/15

2400
Да, я хочу только через углы. Там же однозначно всё определяется углами, на сколько я понимаю конечно. Можно конечно ввести фиктивный размер стороны, но мне кажется, что как то изящнее всё можно сделать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти угол внутри четырёхугольника
Сообщение11.08.2017, 22:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Andrey_Kireew в сообщении #1240143 писал(а):
Там же однозначно всё определяется углами

И да, и нет. Углы задают обе "половинки" $ABD, BCD$ с точностью до подобия. Чтобы зафиксировать положение второй диагонали, нужно правильно подобрать их размеры (согласованно). Так что одними углами не обойдётесь! То есть в ответе будет не столько сами углы, сколько тригонометрические функции от них.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти угол внутри четырёхугольника
Сообщение11.08.2017, 22:51 


07/10/15

2400
provincialka в сообщении #1240147 писал(а):
И да, и нет. Углы задают обе "половинки" $ABD, BCD$ То есть в ответе будет не столько сами углы, сколько тригонометрические функции от них.


С этим я и не спорил. Главное, что сторон в ответе быть не должно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти угол внутри четырёхугольника
Сообщение11.08.2017, 22:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Ну, а тогда чем плох способ mihailm?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти угол внутри четырёхугольника
Сообщение12.08.2017, 00:03 


07/10/15

2400
Да не плох он, просто я ещё не просчитал всё, и пока не уверен, что получится. Как проверю - отпишусь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти угол внутри четырёхугольника
Сообщение12.08.2017, 15:08 


07/10/15

2400
Да, если по т. синусов составить уравнения
$\left\{
\begin{array}{rcl}
&\frac{BA}{sin\alpha}=\frac{CA}{sin(CBD+DBA)}&\\
&\frac{AD}{sin(BCD-\alpha})=\frac{CA}{sin(CDA+BDA)}&\\
&\frac{BA}{sinBDA}=\frac{AD}{sinABD}&\\
\end{array}
\left.
$

то в итоге они сводятся к следующему
$cos\alpha=cosBCD+\frac{sin(CDB+BDA)sinABD}{sin(CBD+ABD)sin(BDA)}$

В общем, если даже всё и правильно, то формула очень громоздкая получается.
Наверное намного проще будет считать этот угол через координаты точек А, С, В.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти угол внутри четырёхугольника
Сообщение12.08.2017, 17:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Andrey_Kireew Ну, этого следовало ожидать (сложности ответа). Кстати, перед обозначениями синуса и косинуса ставьте бакслеш: сравните $sin, cos, \sin, \cos$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти угол внутри четырёхугольника
Сообщение12.08.2017, 17:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Andrey_Kireew
Зато такая формула наверняка очень красиво обобщается на сферическую и гиперболическую геометрии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти угол внутри четырёхугольника
Сообщение12.08.2017, 22:08 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Andrey_Kireew в сообщении #1240255 писал(а):
$\cos\alpha=\cos BCD+\frac{\sin(CDB+BDA)\sin ABD}{\sin(CBD+ABD)\sin BDA}$
Давайте проверим эту формулу для случая, когда четырёхугольник — квадрат. Углы, стоящие в числителе, симметричны углам, стоящим в знаменателе, поэтому дробь равна $1$. Угол $BCD$ прямой, его косинус равен $0$. Получаем $\cos\alpha=1$, откуда $\alpha=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти угол внутри четырёхугольника
Сообщение13.08.2017, 00:41 


07/10/15

2400
Большое спасибо за замечание, действительно - было 2 ошибки. Первая во втором уравнении системы, там в правой части, в знаменателе, вместо $CDA$ должно быть $CDB$. Дальше потерял один синус в процессе преобразований, так как считал вручную - на листочке.
Правильный ответ:
$\ctg(\alpha)={\ctg(BCD)}+{\frac{\sin(ABD)}{\sin(BCD)\sin(BDA)}} {\frac{\sin(CDB+BDA)}{\sin(CBD+DBA)}}$.

Теперь на Ваше примере svv получается $45^o$, как и должно быть.
Только радости от этого не прибавляется - вместо 4 синусов, косинуса и арккосинуса, теперь нужно считать 5 синусов, котангенс и арккотангенс. Хотя надо попробовать её немного упростить, может что и получится ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти угол внутри четырёхугольника
Сообщение13.08.2017, 01:40 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Да, теперь правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти угол внутри четырёхугольника
Сообщение13.08.2017, 13:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Andrey_Kireew
Чтобы было поменьше ошибок, может, стоит давать углам краткие названия, вроде $\alpha, \beta...$ или $\angle 1,\angle 2...$ и т.п.?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group