2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Абсолютно упругий удар об угол
Сообщение11.08.2017, 15:36 


27/08/16
9426
Red_Herring в сообщении #1239999 писал(а):
Тогда и неустойчивых точек равновесия нет, поскольку точка с них, как правило, может уйти в разные стороны.

Если спрашивают, в какую именно сторону уйдёт точка от метастабильного состояния - то некорректная. "Решение физической задачи" - это, вообще говоря, ответ на заданный в задаче вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Абсолютно упругий удар об угол
Сообщение11.08.2017, 16:53 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Предлагаю модель, в которой вопрос о движении шарика является корректным.

Динамическую задачу теории упругости (с волнами) решать не хочется. Рассматривать детально деформацию и напряжения в стенках в зависимости от положения шарика тоже не хочется. Учесть простейшим способом конечную упругость стенки — хочется.

Будем считать, что край шарика может пересекать линию стенки. При этом на него действует «выталкивающая» сила, направленная перпендикулярно линии стенки, и по модулю равная $kh$, где $h$ — глубина проникновения шарика за линию (=расстояние от стенки до самой далёкой точки шарика по ту сторону стенки). Если шарик не заходит за линию стенки, $h$ считаем отрицательным числом, равным по модулю расстоянию от шарика до стенки. Стенки действуют на шарик независимо.

Получаем выражение для потенциальной энергии шарика:
$U=\frac 1 2 \,k\,\theta(h_1)\,h_1^2+\frac 1 2\,k\,\theta(h_2)\,h_2^2$,
где $\theta$ — функция Хевисайда, $h_1,h_2$ — глубины проникновения шарика за первую и вторую стенки.
Это такая долина с плоским дном и расходящимися под углом бортами (и с областью, где оба слагаемых дают ненулевой вклад).

 Профиль  
                  
 
 Re: Абсолютно упругий удар об угол
Сообщение11.08.2017, 20:32 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Еще раз подчеркну.
Для избежания сложностей с деформациями в самом шарике предполагаем его бесконечно твердым. То есть у нас вся потенциальная энергия сжатия приходится на деформацию стенок.
Нетрудно посчитать, что в таком случае для достаточно жесткого материала стенок с большим модулем юнга $Y$ сила реакции опоры со стороны стенок пропорциональна квадрату глубин проникновения шарика в стенки: $F= \pi Yh^2$, что приводит к неприятным нелинейным дифурам, которые пока можно оставить на потом.
Давайте немножко тогда упростим задачу.
Пусть у нас не шарик катится, а скользит клин с тем же самым углом $\alpha$. То есть в момент столкновения он совместится с нашим изначальным клином.
Тогда площади соприкосновения клина со стенками не меняются при проникновении в стенки и силы на самом деле можно считать гуковскими (пропорциональными глубине).
Получим два линейных уравнения второй степени которые описывают гармонически колебания с двумя степенями свободы в той фазе, когда глубина проникновения положительна.
Надо просто честно расписать эти уравнения и решить с известными начальными условиями, которые и заданы в виде проекций начальной скорости в направлениях, перпендикулярных стенкам в момент начальных нулевых глубин проникновения.
То есть надо сосчитать, когда "полуосцилляция" приведет к вторичному нулевому проникновению в одну из стенок. Тогда соответствующая сила обратится в ноль и таковой и останется.

Кстати, попутно вырисовалась такая задачка.
Давайте просто вдавим один клин в другой. Пусть теперь у нас есть некий статический к-трения клина о стенки $\mu$. При каках углах $\alpha$ наш клин выскочит из паза. То есть опять считаем что у клина и паза один и тот же угол $\alpha$. Такя вот нехитрая задачка на статику.

 Профиль  
                  
 
 Re: Абсолютно упругий удар об угол
Сообщение11.08.2017, 20:35 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
fred1996 в сообщении #1240087 писал(а):
Для избежания сложностей с деформациями в самом шарике предполагаем его бесконечно твердым. То есть у нас вся потенциальная энергия сжатия приходится на деформацию стенок.
Я так и считал.

-- Пт авг 11, 2017 20:36:19 --

fred1996 в сообщении #1240087 писал(а):
что приводит к неприятным нелинейным дифурам
У меня ничего этого нет. Частица в потенциальной яме, не более того.

 Профиль  
                  
 
 Re: Абсолютно упругий удар об угол
Сообщение11.08.2017, 20:38 


27/08/16
9426
svv в сообщении #1240088 писал(а):
Частица в потенциальной яме, не более того.
Осталось проинтегрировать. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Абсолютно упругий удар об угол
Сообщение11.08.2017, 20:48 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
svv
Понимаете, если у нас шарик вдавливается в стенку, то подсчет деформаций показывает, что сила реакции опоры пропорциональна квадрату проникновения, а не линейна. Чего можно избежать, запустив клин вместо шарика.
Хотя, по чесноку клин уже не симметричное тело и реакция опоры начнет его поворачивать в процессе удара. Так что для удобстав придется поместить центр масс клина не там где положено, а сместить его в точку поближе к вершине, так чтобы силы реакции опоры проходили аккурат через чентр масс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Абсолютно упругий удар об угол
Сообщение11.08.2017, 20:53 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
fred1996 в сообщении #1240099 писал(а):
Понимаете, если у нас шарик вдавливается в стенку, то подсчет деформаций показывает, что сила реакции опоры пропорциональна квадрату проникновения, а не линейна. Чего можно избежать, запустив клин вместо шарика.
Вы же сказали в условии, что силы гуковские.

Может быть, Вы меня неправильно поняли. Я не рассматриваю задачу теории упругости. Никакого детального рассмотрения деформаций и напряжений. Исходя из условия, я принимаю простейший вид сил, зависящих от координат центра шарика. Проще не бывает.

После этого вместо шарика рассматривается материальная точка в поле потенциальных сил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Абсолютно упругий удар об угол
Сообщение11.08.2017, 22:51 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
svv
Сначала я действительно предположил, что силы гуковские.
Но потом понял, что надо конкретизировать что имеется ввиду.
Все-таки в случае шарика это допущение совсем уж нефизично.
А закон Гука, насколько мне известно можно интерпретировать двумя формулами.
В простейшем виде: $F=-kx$ и в несколько более общем виде: $F=-YA\frac{x}{l}$
Очевидно, что в случае шарика сила упругости в таком случае будет в первом приближении пропорциональна объему вмятины в стенке, или квадрату высоты этого вмятого мениска, а не линейна, что я и хотел вначале.
Поэтому я на ходу переформулировал задачу на клин, чтобы получить чистую линейность. Так что с клином ваши формулы верны. Теперь осталось выразить кинетическую энергию через $\dot{h_1}$ и $\dot{h_2}$
А можно и сразу силы реакции опоры $F_1$ и $F_2$ через линейную комбинацию смещений $h_1$ и $h_2$, что представляет простенькую геометрическую задачу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Абсолютно упругий удар об угол
Сообщение12.08.2017, 00:46 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Посмотрел в литературе. (Например, В.Л.Попов. Механика контактного взаимодействия и физика трения, пункт «Контакт между абсолютно твёрдым шаром и упругим полупространством», с.28-30). Сила пропорциональна глубине проникновения в степени $3/2$. Формула есть в Википедии: https://en.wikipedia.org/wiki/Contact_mechanics#Contact_between_a_sphere_and_a_half-space
Три вторых — это, конечно, ещё не единица, но уже и не двойка.

Конечно, я не против произнести слово «клин» и с чистой совестью считать, что площадь контакта постоянна, а зависимость линейна. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Абсолютно упругий удар об угол
Сообщение12.08.2017, 01:09 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Ну в общем для нелинейной зависимости как-то это все не шибко складно выходит.
Так что в последней редакции предлагается такая фигура:
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Абсолютно упругий удар об угол
Сообщение12.08.2017, 17:50 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Пока никто не предложил самых естественных координат для этой задачи.
А их ведь можно найти практичеси ничего не считая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Абсолютно упругий удар об угол
Сообщение12.08.2017, 20:23 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
А задачка даже красивее, чем я поначалу думал.
При определенных углах $\alpha$ имеет вполне аналитические решения. Да и при других углах достаточно интересные качественные рашения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Абсолютно упругий удар об угол
Сообщение14.08.2017, 01:49 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Написал на C++ программку, которая решает методом Рунге-Кутта уравнение $\ddot{\mathbf r}=\frac 1 m \mathbf F(\mathbf r)$ при заданной конфигурации и начальных условиях. Можно перейти к безразмерным длине и времени так, что уравнения не будут зависеть от массы шарика (клина) и коэффициента упругости, а начальная скорость будет единичной. Таким образом, остаётся один параметр — угол между стенками. (Я рассматривал только случай, когда шарик сначала движется вдоль стенки — как в условии.)

На картинках голубым закрашены стены (в «невозмущённом» состоянии). Числа означают угол между стенками в градусах. Пока этот угол $\geqslant 90°$, шарик отскакивает по закону «угол падения равен углу отражения», так как он взаимодействует только с одной стенкой — на картинке она с горизонтальной границей. Когда же угол становится меньше прямого, начинаются колебания, тем более сложные, чем меньше угол:
Изображение
Изображение
fred1996 в сообщении #1240302 писал(а):
А задачка даже красивее, чем я поначалу думал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Абсолютно упругий удар об угол
Сообщение14.08.2017, 02:48 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Если еще далее уменьшать угол, Можно будет наблюдать полуфигуры Лиссажу при $\tg(\frac{\alpha}{2})=\frac{1}{n^2}$.
Все это справедливо, пока ЦМ шарика находится внутри ромба с красными сторонами, то есть пока он одновременно касается обеих сторон угла

Изображение

При заданном выборе координат движение центра шарика внутри этого ромба будет описываться гармоническими колебаниями по осям $x$ и $y$ с соотношениями частот $\frac{\omega_x}{\omega_y}=\sqrt{\tg(\alpha/2)}$

Чистые фигуры Лиссажу могут получиться, если наш шарик плотно сжать в такой ромб и дать ему начальный импульс в любом направлении. Так что ни в какой момент он не будет терять контакт ни с одной из стенок.

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Абсолютно упругий удар об угол
Сообщение14.08.2017, 03:37 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
fred1996 в сообщении #1240442 писал(а):
Все это справедливо, пока ЦМ шарика находится внутри ромба с красными сторонами, то есть пока он одновременно касается обеих сторон угла
Да, согласен. На моих картинках изображены не сами стенки, а две стороны Вашего ромба, продолженные в обе стороны (красные линии):
Изображение
Потом, я считал, что стенки не соединяются в вершине, а продолжаются до бесконечности, проходя в вершине друг сквозь друга. Поэтому у меня такой не ромб, а целый угол (жёлтый). Это несущественно: всегда можно вписаться в ромб, изменив $m$ или $k$, или $v_0$.
fred1996 в сообщении #1240442 писал(а):
Если еще далее уменьшать угол, Можно будет наблюдать полуфигуры Лиссажу при $\tg(\frac{\alpha}{2})=\frac{1}{n^2}$.
Вот что получилось при $n=2$:
Изображение
$n=3$. Траектория не обрывается: шарик останавливается и начинает двигаться назад по той же траектории.
Изображение

-- Пн авг 14, 2017 04:01:12 --

Кажется, даже при $\tg\frac{\alpha} 2=\frac 1 n$, без квадрата.
При этом, если $n$ нечётное, шарик останавливается и потом возвращается назад по той же траектории.
Если $n$ чётное, траектория симметрична относительно биссектрисы угла, и шарик уходит вдоль другой стенки.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 47 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group