2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Показатель Ляпунова
Сообщение05.08.2017, 22:02 
Аватара пользователя


16/11/12
55
На сколько я понимаю, если есть последовательность $x_n=f(x_{n-1})$, то показатель Ляпунова рассчитывается так: $\lim\limits_{N\to\infty}\frac{1}{N}\ln\left|\frac{df^N(x_0)}{dx_0}\right|$. А если $f$ зависит не только от $x_{n-1}$, а скажем и от $x_{n-2}$ тоже, как определяется показатель Ляпунова в таком случае?

 Профиль  
                  
 
 Re: Показатель Ляпунова
Сообщение05.08.2017, 22:45 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Вводите вспомогательную переменную $y_{n}=x_{n-1}$, рассматриваете 2-мерную систему и заменяете в формуле производную на Якобиан (предел должен быть верхним).

 Профиль  
                  
 
 Re: Показатель Ляпунова
Сообщение06.08.2017, 08:14 
Аватара пользователя


16/11/12
55
Ясно, спасибо.

-- 06.08.2017, 08:43 --

Хотя я поторопился со словом "ясно", у меня же получается функция нескольких переменных, т.е. $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$, какой там якобиан?

 Профиль  
                  
 
 Re: Показатель Ляпунова
Сообщение06.08.2017, 08:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
qwe8013 в сообщении #1238726 писал(а):
у меня же получается функция нескольких переменных, т.е. $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$, какой там якобиан?
А $y$ куда делся? Для него же вторая функция нужна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показатель Ляпунова
Сообщение06.08.2017, 09:22 
Аватара пользователя


16/11/12
55
Цитата:
А $y$ куда делся? Для него же вторая функция нужна.

Так в том то и дело, что у меня есть одна функция $x_n=f(x_{n-1},x_{n-2})$ и мне нужно рассчитать показатель Ляпунова.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показатель Ляпунова
Сообщение06.08.2017, 10:27 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Так dsge же объяснил:
$\begin{cases}x_n=f(x_{n-1}, y_{n-1})\\y_n=x_{n-1}\end{cases}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Показатель Ляпунова
Сообщение11.08.2017, 18:51 
Аватара пользователя


16/11/12
55
Как я понимаю матрица Якоби должна выглядеть так:
$\begin{pmatrix}
 \frac{\partial x_n}{\partial x_{n-1}} & \frac{\partial x_n}{\partial x_{n-2}}\\
1 & 0
\end{pmatrix}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Показатель Ляпунова
Сообщение11.08.2017, 19:48 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
ОК.
Лучше вместо $x_n$ писать $f$; и логичнее производную в 1-й строке, во 2-м столбце писать по $y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показатель Ляпунова
Сообщение12.08.2017, 12:56 
Аватара пользователя


16/11/12
55
Т.к. в показателе Ляпунова - Якобиан, то получается, что показатель Ляпунова не зависит от $\frac{\partial f}{x_{n-1}}$, или я чего-то путаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Показатель Ляпунова
Сообщение13.08.2017, 20:42 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Почему же не зависит, если якобиан от неё зависит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Показатель Ляпунова
Сообщение14.08.2017, 12:37 
Аватара пользователя


16/11/12
55
Так ведь определитель такой:
$
\begin{vmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x_{n-1}} & \frac{\partial f}{\partial y_{n-1}}\\
1 & 0
\end{vmatrix}
=\frac{\partial f}{\partial x_{n-1}}\cdot 0-\frac{\partial f}{\partial y_{n-1}}\cdot 1=-\frac{\partial f}{\partial y_{n-1}}
$
получается, что от $\frac{\partial f}{\partial x_{n-1}}$ не зависит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показатель Ляпунова
Сообщение14.08.2017, 12:48 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Перемножьте два Якобиана с соседними временами и зависимость появится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показатель Ляпунова
Сообщение14.08.2017, 16:34 
Аватара пользователя


16/11/12
55
Да, чего-то об этом не подумал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показатель Ляпунова
Сообщение14.08.2017, 16:50 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Не, вы правы, там все сокращается. В многомерном случае показатели Ляпунова определяются все же не так, а как логарифмы собственных чисел матрицы
$\lim\limits_{N\to\infty}\left(\left(\frac{df^N(x_0)}{dx_0}\right)\cdot\left(\frac{df^N(x_0)}{dx_0}\right)^{'}\right)^{\frac{1}{2N}}$,
где $\frac{df^N(x_0)}{dx_0}$ - Якобианы от композиций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показатель Ляпунова
Сообщение24.09.2017, 01:35 
Аватара пользователя


16/11/12
55
Подниму эту тему.
Если сделать, как здесь рекомендовали:
$
\begin{cases}
y_n=x_{n-1}\\
z_n=y_{n-1}\\
x_n=f(x_{n-1},y_{n-1},z_{n-1})
\end{cases}
$
Матрица Якоби получается такая:
$
J=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
\frac{\partial f}{\partial x_{n-1}} & \frac{\partial f}{\partial x_{n-2}} & \frac{\partial f}{\partial x_{n-3}}
\end{pmatrix}
$
На сколько я понял, показатели Ляпунова $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ определяются следующим образом:
$e^{\lambda_i}=\lim\limits_{N\to\infty}(\text{собственное значение произведения}\prod\limits_{n=0}^{N-1}J(x_{n-1},x_{n-2},x_{n-3}))^{\frac{1}{N}}$
Здесь получается 3 собственных значения: две единицы и одно зависящее только от $\frac{\partial f}{\partial x_{n-3}}$
Получается, что показатель Ляпунова здесь один и зависит он только от $\frac{\partial f}{\partial x_{n-3}}$? Поправьте, если где-то ошибся.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: tolstopuz


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group