Почему скалярное произведение в поле C так определено?

[Papazol]

Почему скалярное произведение векторов с комплексными координатами так определено?
конкретней интересует вопрос, почему когда мы перемножаем координаты векторов, то в произведении берутся комплексно сопряженные координаты второго вектора?

ps. вопрос корявенький в заголовке, но там длина ограничена

[kp9r4d]

Чтобы неравенство Коши-Буняковского выполнялось.

[Papazol]

возможно еще чтобы скалярный квадрат был всегда положителен, даже если координаты вектора комплексные?

а какие-нибудь исторические причины есть?
как, например с определителями второго порядка, с матрицами - решали уравнения, заметили, что матрицы надо перемножать так-то, определитель вычислять так-то...
т.е. если записать систему в виде матрицы, то для решения системы действия с ней производим таким-то образом

[ewert]

Papazol в сообщении #1238579 писал(а):

возможно еще чтобы скалярный квадрат был всегда положителен, даже если координаты вектора комплексные?

Более-менее, но формальная причина принципиальнее. Скалярным произведением в комплексном случае называется любое выражение (числовая функция от пары векторов), удовлетворяющее трём аксиомам:

1) положительность -- $(\vec x,\vec x)>0\ \ (\forall\vec x\neq\vec0)$;
2) линейность по первому аргументу -- $(\alpha\vec x+\beta\vec y,\vec z)\equiv\alpha(\vec x,\vec z)+\beta(\vec y,\vec z)$;
3) кососимметричность -- $(\vec x,\vec y)\equiv\overline{(\vec y,\vec x)}$.

Это -- общее формальное определение скалярного произведения. В очень частном случае, когда оно явно выражается через координаты, чёрточки над вторыми сомножителями нужны для согласования с третьей аксиомой. А вот чёрточка в самой третьей аксиомой нужна, да, именно потому, что без неё третья аксиома противоречила бы двум первым.

[Munin]

ewert в сообщении #1238734 писал(а):

Скалярным произведением в комплексном случае называется любое выражение (числовая функция от пары векторов)

Действительная функция. Иначе нельзя полагаться на существование ${>}.$

[ewert]

Munin в сообщении #1238737 писал(а):

Действительная функция. Иначе нельзя полагаться на существование ${>}.$

В данном конкретном случае -- не действительная, а комплексная. Вообще же говоря -- принимающее значения из того поля, над которым пространство. И единственное ограничение, накладываемое на это поле -- существование в нём упорядоченного подполя; оно и подразумевается упоминанием неравенства.

[Munin]

Значит, и сама функция принимает значения из этого подполя.

[svv]

Скалярное произведение двух произвольных векторов не будет вещественным.

[ewert]

Munin в сообщении #1238741 писал(а):

Значит, и сама функция принимает значения из этого подполя.

Вовсе не значит, т.к. в 1-й аксиоме (в отличие от 2-й и 3-й) речь идёт далеко не о всех возможных значениях функции.

[Mikhail_K]

Munin в сообщении #1238737 писал(а):

Действительная функция. Иначе нельзя полагаться на существование ${>}.$

Munin в сообщении #1238741 писал(а):

Значит, и сама функция принимает значения из этого подполя.

Если бы она была действительной, что бы означала третья аксиома?
Да и вторая при комплексном $\alpha$ и $\beta=0$ тоже.

ewert в сообщении #1238734 писал(а):

1) положительность -- $(\vec x,\vec x)>0\ \ (\forall\vac x\neq\vec0)$;

Чуть понятнее было бы, наверное, написать $(\vec x,\vec x)\in\mathbb{R}$ и $(\vec x,\vec x)>0$ для всех $\vec x\neq\vec 0$.

[ewert]

Mikhail_K в сообщении #1238745 писал(а):

Чуть понятнее было бы, наверное, написать $(\vec x,\vec x)\in\mathbb{R}$ и $(\vec x,\vec x)>0$ для всех $\vec x\neq\vec 0$.

Чтобы было понятнее, надо чуть подправить (сейчас сделаю) -- буковку "a" на "e". А вот упоминать вещественность не обязательно -- она подразумевается положительностью. Если, конечно, поле -- именно $\mathbb C$ (оно ведь могло бы быть, например, комплексно-рациональным или там комплексно-алгебраическим).

[svv]

Я понимаю Muninа. С точки зрения программиста: функция «скалярное произведение» от двух аргументов vector<complex> возвращает значение типа complex. Для таких значений не определена операция >. Корректно было бы написать $\operatorname{Im}(\vec x, \vec x)=0, \operatorname{Re}(\vec x, \vec x)>0$.

[ewert]

(Оффтоп)

svv в сообщении #1238747 писал(а):

Корректно было бы написать $\operatorname{Im}(\vec x, \vec x)=0, \operatorname{Re}(\vec x, \vec x)>0$.

И самое интересное: почему в учебниках никто (вот буквально никто) так не пишет?... Боюсь, что даже и программисты... $\in\mathbb R$ ещё могут написать, а вот так -- вряд ли.

[svv]

(Оффтоп)

Это на их совести. Шероховатость там есть.

[Munin]

svv в сообщении #1238743 писал(а):

Скалярное произведение двух произвольных векторов не будет вещественным.

Да, спасибо, верно.

-- 06.08.2017 18:40:58 --

svv

(Оффтоп)

Нужно ещё, чтобы среди всех упорядоченных подполей было наибольшее :-)