2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Понятие определителя
Сообщение05.08.2017, 11:30 


02/12/16
60
Всем привет,

Как определяется определитель?
В учебнике Кострикина сначала пишется, что
Цитата:
Определитель — это число (или выражение), приписываемое матрице $A$ и определённое формулой полного развёртывания
...
Другими словами, определителем $\det A$ матрицы $A$ называется алгебраическая сумма всевозможных произведений коэффициентов, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца.

Но в следующем пункте мы рассматриваем определитель как функцию
Цитата:
Согласно определению | |$ = \det $ — функция, сопоставляющая квадратной матрице А некоторое число $|A| = \det А$.
...
Если угодно, для нас $\det A$ — сокращённое обозначение функции $\det[A_{(1)},..., A_{(n)}]$ $n$ переменных, коими являются векторы из $\mathbb{R}^{n}$.

Как это понять? Мы отождествляем функцию и ее значение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие определителя
Сообщение05.08.2017, 11:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
xjar1 в сообщении #1238534 писал(а):
Как это понять? Мы отождествляем функцию и ее значение?
Встречный вопрос. Натуральный логарифм данного числа - это показатель степени, в которую нужно возвести экспоненту, чтобы получить данное число. Но все кругом говорят, что $\ln$ - функция, интегралы какие-то от нее берут, график строят. Как это понять? Мы отождествляем функцию и ее значение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие определителя
Сообщение05.08.2017, 12:24 
Аватара пользователя


10/05/17

113
xjar1 в сообщении #1238534 писал(а):
Если угодно, для нас $\det A$ — сокращённое обозначение функции
По-моему тоже неприятно, когда автор не отличает обозначения функций от термов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие определителя
Сообщение05.08.2017, 12:39 
Аватара пользователя


01/12/06
697
рм
В первом случае дается определение понятия "определитель матрицы A". Во втором - просто "определителя".

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие определителя
Сообщение05.08.2017, 12:45 


02/12/16
60
Anton_Peplov в сообщении #1238540 писал(а):
Встречный вопрос. Натуральный логарифм данного числа - это показатель степени, в которую нужно возвести экспоненту, чтобы получить данное число. Но все кругом говорят, что $\ln$ - функция, интегралы какие-то от нее берут, график строят. Как это понять? Мы отождествляем функцию и ее значение?

Если честно Ваш вопрос меня тоже ввел в ступор, может на разговорном языке можно отождествить функцию и ее значение, но чисто математически -- не знаю.
Z1X в сообщении #1238543 писал(а):
По-моему тоже неприятно, когда автор не отличает обозначения функций от термов.

Вы имеете ввиду автора темы? Я, к сожалению, пока не ориентируюсь в данных понятиях и разнице между ними.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие определителя
Сообщение05.08.2017, 12:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608
Другими словами: $\det$ - функция (ставящая в соответствие каждой квадратной матрице какое-то число).
Поэтому, если $A$ - квадратная матрица, то $\det A$ - число.

-- 05.08.2017, 12:49 --

xjar1 в сообщении #1238550 писал(а):
Вы имеете ввиду автора темы?
Он имеет в виду автора учебника. Действительно, не очень корректно говорить, что $\det A$ - функция; корректнее говорить, что $\det$ - функция, а $\det A$ - её значение.

Но это по большей части придирки. В учебнике не обязательно должен всюду соблюдаться такой уровень строгости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие определителя
Сообщение05.08.2017, 16:13 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Там явно видно, зачем автор написал «$\det A$ — функция» — дальше он обращается к отдельным строкам/столбцам $A$, чтобы ввести ещё одну функцию с названием тоже $\det$, но от $n$ штук $n$-элементных столбцов $A_i$ (в принципе, можно даже понимать это как счётное число функций, хотя ничто не мешает взять их объединение, и даже объединение с исходной функцией $\det$, и всё это понимать как одну функцию), чтобы выразить исходную через эту. В принципе, можно написать всё с крайней точностью*, но тогда придётся переставить все слова, и может стать непонятно, на чём в предложении акцент.

* Что $\det(\text{матрица со столбцами }A_1,\ldots,A_n) = \det'(A_1,\ldots,A_n)$, где $\det'$ — функция набора столбцов, а $\det$ — функция матрицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Понятие определителя
Сообщение06.08.2017, 11:27 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
xjar1 в сообщении #1238534 писал(а):
В учебнике Кострикина сначала пишется, что
Цитата:
Определитель — это число (или выражение), приписываемое матрице $A$ и определённое формулой полного развёртывания
...
Другими словами, определителем $\det A$ матрицы $A$ называется алгебраическая сумма всевозможных произведений коэффициентов, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца.

Но в следующем пункте мы рассматриваем определитель как функцию
Цитата:
Согласно определению | |$ = \det $ — функция, сопоставляющая квадратной матрице А некоторое число $|A| = \det A$.
...
Если угодно, для нас $\det A$ — сокращённое обозначение функции $\det[A_{(1)},..., A_{(n)}]$ $n$ переменных, коими являются векторы из $\mathbb{R}^{n}$.

Как это понять? Мы отождествляем функцию и ее значение?

Если у Кострикина написано буквально так, то не вижу никаких шероховатостей. Он как раз именно в процитированном очень чётко разводит понятия функции и её значения. (У Вас там была одна явная опечатка -- видимо, из-за раскладки клавиатуры; я её подправил.) Единственная небрежность -- в самом начале: "это число (или выражение), приписываемое матрице". Но это лишь из-за того, что Кострикин не решился начать с запугивания читателя ужасающим словосочетанием "функция от матрицы" -- для вчерашнего школьника оно непривычно. Он предпочёл сперва приучить к этому понятию.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group