2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Смысл интеграла векторнозначной функции
Сообщение03.08.2017, 01:56 
Аватара пользователя


03/08/17
13
При переходе от скалярных функций к векторным, непрерывность и дифференцируемость определяют, как правило, через норму. И хотя почти сразу же доказывается, что это определение эквивалентно покомпонентной непрерывности/дифференцируемости, тем не менее, начинают все же с общих соображений.

Однако, в отличии от этого случая, интегрирование векторнозначной функции вводят непосредственно, через компоненты. Почему так? У него вообще есть какой-то очевидный геометрический или еще какой-то смысл, кроме того что это операция, обратная к дифференцированию?

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл интеграла векторнозначной функции
Сообщение03.08.2017, 02:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
cabadath в сообщении #1237893 писал(а):
У него вообще есть какой-то очевидный геометрический или еще какой-то смысл, кроме того что это операция, обратная к дифференцированию?
Суммирование некоторого множества векторов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл интеграла векторнозначной функции
Сообщение03.08.2017, 02:36 
Аватара пользователя


03/08/17
13
Dan B-Yallay в сообщении #1237897 писал(а):
Суммирование некоторого множества векторов?

Ну это ничего особо не разъясняет.
Когда вводят производную, то объясняют это касательной, или линейным приближением.
Когда вводят интеграл Римана, то объясняют это "площадью под графиком", а иначе можно было бы никаких интегралов Римана не вводить, а просто определить их через первообразную.
Когда вводят вариацию, то объясняют это "длиной кривой".
А когда вводят интеграл векторнозначной функции, то ничего не объясняют.
Пожалуй, если задуматься, то можно объяснить его физический смысл, если у нас есть вектор скорости в каждый момент, то это способ найти суммарный путь.
А каких-то других соображений, более приближенных, скажем, к геометрии, нету?

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл интеграла векторнозначной функции
Сообщение03.08.2017, 02:47 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ну так предел некоторых сумм аналогично интегралу Римана чем плох?

cabadath в сообщении #1237899 писал(а):
Когда вводят вариацию, то объясняют это "длиной кривой".
:shock: По-моему, длина кривой — это как раз кое-какой интеграл, вариация немного не из той оперы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл интеграла векторнозначной функции
Сообщение03.08.2017, 12:01 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
cabadath в сообщении #1237899 писал(а):
если у нас есть вектор скорости в каждый момент, то это способ найти суммарный путь
Вектор перемещения.
Например, если скорость точки на плоскости $\mathbf v(t)=(\cos t, \sin t)$, то за время $2\pi$ перемещение будет нулевым вектором, а путь будет $2\pi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл интеграла векторнозначной функции
Сообщение03.08.2017, 12:25 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
cabadath в сообщении #1237899 писал(а):
Когда вводят интеграл Римана, то объясняют это "площадью под графиком", а иначе можно было бы никаких интегралов Римана не вводить,
Именно объясняют, а не определяют, это несколько разные вещи. Формальные же определения интеграла Римана очевидным образом обобщаются на векторнозначные функции.
cabadath в сообщении #1237899 писал(а):
а просто определить их через первообразную.
Это вообще-то интеграл Ньютона-Лейбница, его связь с интегралом Римана еще доказывать надо. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл интеграла векторнозначной функции
Сообщение03.08.2017, 13:02 
Аватара пользователя


03/08/17
13
Pphantom в сообщении #1237976 писал(а):
Именно объясняют, а не определяют, это несколько разные вещи. Формальные же определения интеграла Римана очевидным образом обобщаются на векторнозначные функции.

Если не объяснять, то вообще неясно, зачем мы вводим какое-то сложное понятие на ровном месте.

Более того, обычно, прежде чем определять интеграл Римана, предъявляют набор логичных требований к нему, и потом, на основании этих требований постепенно выстраивают определение. Точно так же с производной, особенно в векторном случае, и с вариацией.

А тут же такое чувство, что само по себе это понятие вообще никому не нужно, а вводят его (у Рудина, к примеру) только для того, чтобы удобно было формулу Лагранжа доказывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Смысл интеграла векторнозначной функции
Сообщение03.08.2017, 13:09 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
cabadath в сообщении #1237981 писал(а):
А тут же такое чувство, что само по себе это понятие вообще никому не нужно, а вводят его (у Рудина, к примеру) только для того, чтобы удобно было формулу Лагранжа доказывать.
Ну вообще-то для "математического" учебника матанализа это впечатление достаточно близко к действительности. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group