50 карточек

[Ktina]

Есть 50 карточек, на них написаны числа от 1 до 50, каждое по одному разу. Костя и Виталик по очереди берут по одной карточке. Костя берет первым и хочет добиться того, чтобы сумма чисел на его карточках делилась на 25. Виталик хочет этому помешать. Сможет ли Костя добиться своей цели? (В. Аксенов)

Мне кажется, что Костя всегда сможет добиться делимости на 25, если он разобьёт все 50 чисел на пары с равными остатками при делении на 25, то есть на пары (1, 26), (2, 27), (3, 28) и т. д. Первым ходом Костя возьмёт любое число, скажем, 1. Далее, если Виталик возьмёт число из до сих пор не тронутой пары, Костя возьмёт ответным ходом второе число из той же пары. Если же Виталик возьмёт число из той пары, из которой уже брал Костя, Костя просто "распечатает" новую пару. В любом случае, Костя возьмёт ровно по одному из всех остатков по модулю 25, а это как раз и даст ему сумму, кратную 25.

Может, я как-то неправильно рассуждаю?
Или нечётко формулирую решение?
Пожалуйста, помогите решить!
Заранее благодарю!

[iou]

Да, всё так. Костя всегда может добиться того (по предложенному алгоритму), чтобы числа на его карточках были в точности остатками по модулю $25.$

[Ktina]

iou
Большое спасибо!
Кстати, мне формулировка условия не очень нравится.
Что значит, Костя берет первым и хочет добиться того, чтобы сумма чисел на его карточках делилась на 25?
Надо уточнить, что речь идёт о сумме чисел на всех 25 карточках, взятых Костей в процессе игры.
В противном случае, можно понять так, что как только Костя сумеет набрать несколько (возможно, одну даже) карточек, сумма чисел на которых делится на 25, он выигрывает.
Например, Костя своим первым ходом в игре берёт карточку под номером 25, и вот он сумел добиться того, чтобы сумма чисел на его карточках делилась на 25

[svv]

Поэтому Костя первым ходом должен брать 25, а дальше следовать алгоритму, чтобы «добился» было верно в обоих смыслах. Тогда Костя будет безупречен.