2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Инвариантная точка в треугольнике
Сообщение31.07.2017, 13:41 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
Рассмотрим произвольный невырожденный треугольник на плоскости. Какую-либо из его вершин возьмем за начало координат, а содержащие ее стороны за векторы базиса $a,b$. Рассмотрим выражение вида $F(a,b) = \frac{P_1((a,a), (a,b), (b,b))}{Q_1((a,a), (a,b), (b,b))} \vec{a} + \frac{P_2((a,a), (a,b), (b,b))}{Q_2((a,a), (a,b), (b,b))} \vec{b}$, где $P,Q$ - некоторые полиномы (от скалярных произведений векторов $a,b$). Назовем это выражение инвариантом треугольника, если в треугольнике оно определяет одну и ту же точку независимо от того, какую именно из вершин мы взяли за начало координат и в каком именно порядке обозначили исходящие из нее стороны за $a,b$. Любую ли точку плоскости можно представить в виде такого инварианта? И если да, то как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантная точка в треугольнике
Сообщение31.07.2017, 16:17 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
Хм, $28$ просмотров и ни одного ответа. Отпишитесь, пожалуйста: задача слишком сложная или слишком неинтересная?

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантная точка в треугольнике
Сообщение31.07.2017, 16:21 
Заслуженный участник


04/03/09
906
Да несложная. Если от перемены мест $\vec{a}$ и $\vec{b}$ результат не зависит, то коэффициенты перед $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны. Значит, инвариантная точка лежит на медиане. А раз это верно для всех вершин, то единственная инвариантная точка - это центроид.
Извиняюсь, чушь написал. В полиномах же $(a,a)$ и $(b,b)$ тоже поменяются местами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантная точка в треугольнике
Сообщение31.07.2017, 20:44 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
Ладно, дам уж пару подсказок (но по-хорошему, за такие спойлеры надо банить):

Во-первых, ответ зависит от того, является ли треугольник равносторонним, равнобедренным-неравносторонним, или вообще разносторонним.

Во-вторых, для случая разностороннего треугольника попытайтесь построить такую инвариантную вектор-функцию, которая при всех возможных вариантах выбора начала координат и нумерации сторон всегда указывала на вершину треугольника. На одну и ту же. Просто попробуйте, а вдруг да и получится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантная точка в треугольнике
Сообщение01.08.2017, 01:34 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Возьмём разносторонний треугольник, выберем в нём самую красивую вершину. Длины прилежащих к ней сторон обозначим $p, q$, а противолежащей $r$. Эти обозначения намертво приколочены к треугольнику, в отличие от подвижных $\mathbf a, \mathbf b$.

Тогда на красивую вершину указывает вектор
$\mathbf F(\mathbf a, \mathbf b)=\frac{(b^2-p^2)(b^2-q^2)}{(r^2-p^2)(r^2-q^2)}\mathbf a+\frac{(a^2-p^2)(a^2-q^2)}{(r^2-p^2)(r^2-q^2)}\mathbf b$
Коэффициенты при $\mathbf a, \mathbf b$ — полиномы второй степени от тех скалярных произведений. Знаменатели тут просто константы, так что полиномы $Q_1, Q_2$ не нужны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантная точка в треугольнике
Сообщение01.08.2017, 14:29 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
Ну вот. Осталось построить аналогичные функции для двух других вершин. Тогда любая точка плоскости будет выражаться некоторой линейной комбинацией от этих трех вершин. Соответственно, вектор-функция, равная линейной комбинации от функций, указующих на вершины, взятых с соответственными коэффициентами, будет указывать как раз на выбранную нами точку.

То есть для любой точки на плоскости такую инвариантную функцию можно найти. В равнобедренном треугольнике же любая инвариантная функция указывает только на точки, лежащие на оси симметрии. А в равностороннем вообще только на центр.

Придумал задачу, когда пытался таким образом выразить координаты точек пересечения медиан, биссектрис и прочего. Скажем, при нахождении центра описанной окружности знаменатели вылезают. А вообще да, можно обойтись и без них.

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантная точка в треугольнике
Сообщение01.08.2017, 15:44 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
У Вас для этого случая получилась аналогичная функция? Скорее всего, есть выбор. Наверное, можно использовать и $(\mathbf a, \mathbf b)$, не проверял.
Фактически, это была реализация булевской функции средствами обычной алгебры. Я выписал, при каких комбинациях аргументов должны были получаться нули и не-нули и подобрал полиномы попроще.
А задачка интересная. То, о чём Вы написали в последнем сообщении, конечно, уже легко додумывалось. Т.е. вопроса «Ну вот. Что дальше делать?» не возникло. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Инвариантная точка в треугольнике
Сообщение02.08.2017, 03:24 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
svv
Функция точно такая же. Скалярное произведение наверняка можно как-нибудь пристегнуть, потому что в разностороннем треугольнике оно при каждой вершине принимает уникальное значение, но я не сумел придумать, как именно.

А расписал решение я скорее ради гипотетических зрителей, которые сами могли бы не справиться. То, что они молчат и не дают никаких свидетельств своего существования, еще не доказывает, что их нет. ) Просмотры же есть.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group