2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача про многочлен и треугольник
Сообщение31.07.2017, 00:12 


30/07/17
5
Здравствуйте!
Я решал задачу со Всероссийской олимпиады школьников 2017 года (10 класс) и получил решение, отличающееся от официального.
В своем решение я использовал неравенство, верность которого я прошу Вас проверить, также у меня есть вопрос по задаче.

Формулировка задачи:
Пусть $P(x)$ — многочлен степени $n\geqslant2$ c неотрицательными коэффициентами, а $a, b$ и $c$ — длины сторон некоторого остроугольного треугольника. Докажите, что числа $\sqrt[n]{P(a)}, \sqrt[n]{P(b)}$ и $\sqrt[n]{P(c)}$ также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.

Решение:
Можно считать, что $a\geqslant b\geqslant c$. Из условия задачи следует, что $a^2<b^2+c^2$.
Требуется доказать, что $\sqrt[n]{P(a)^2}<\sqrt[n]{P(b)^2}+\sqrt[n]{P(c)^2}$.
Я это делаю с помощью неравенства $\sqrt[n]{x^2}+\sqrt[n]{y^2}\geqslant \sqrt[n]{(x+y)^2}$.
По-моему оно верное. Если $n=2$, то достигается равенство. Если $n>2$, то для его доказательства можно возвести обе части неравенства в степень $n$ и тогда левая часть будет не меньше $x^2+y^2+n(\sqrt[n]{y^2}\sqrt[n]{x^2}^{n-1}+\sqrt[n]{x^2}\sqrt[n]{y^2}^{n-1})$, а это выражение не меньше $x^2+y^2+2nxy$, что строго больше $(x+y)^2$.
Тогда, завершая решение задачи, $\sqrt[n]{P(b)^2}+\sqrt[n]{P(c)^2}\geqslant \sqrt[n]{(P(b)+P(c))^2}>\sqrt[n]{P(a)^2}$, последнее неравенство следует из того, что $P(x)$ — многочлен c неотрицательными коэффициентами и $a<b+c$ по неравенству треугольника. При этом, условие того, что треугольник со сторонами $a, b$ и $c$ является остроугольным я не использовал. Мой вопрос в том, требуется ли это условие вообще? Если оно необходимо, то где ошибка в моем решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про многочлен и треугольник
Сообщение31.07.2017, 00:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8334
Цюрих
icego в сообщении #1236910 писал(а):
$x^2+y^2+n(\sqrt[n]{y^2}\sqrt[n]{x^2}^{n-1}+\sqrt[n]{x^2}\sqrt[n]{y^2}^{n-1})$, а это выражение не меньше $x^2+y^2+2nxy$,
Подставим $y = 1$, тогда последнее слагаемое в первом случае это $n(x^{2 - \frac{2}{n}} + x^{\frac{2}{n}})$ - что при достаточно больших $x$ меньше чем $2nx$. А последнее слагаемое во втором случае - как раз $2nx$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про многочлен и треугольник
Сообщение31.07.2017, 00:32 


30/07/17
5
mihaild в сообщении #1236913 писал(а):
icego в сообщении #1236910 писал(а):
$x^2+y^2+n(\sqrt[n]{y^2}\sqrt[n]{x^2}^{n-1}+\sqrt[n]{x^2}\sqrt[n]{y^2}^{n-1})$, а это выражение не меньше $x^2+y^2+2nxy$,
Подставим $y = 1$, тогда последнее слагаемое в первом случае это $n(x^{2 - \frac{2}{n}} + x^{\frac{2}{n}})$ - что при достаточно больших $x$ меньше чем $2nx$. А последнее слагаемое во втором случае - как раз $2nx$.

Я использовал неравенство Коши, вроде бы все верно.

-- 31.07.2017, 00:43 --

Я понял в чем ошибка, неравенство $\sqrt[n]{(P(b)+P(c))^2}>\sqrt[n]{P(a)^2}$ неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про многочлен и треугольник
Сообщение31.07.2017, 08:03 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Используйте норму $L_{n/2}$ для векторов с координатами $(a_ix^{2i})^{1/n}$ для многочлена $P(x)=\sum_{i=0}^n a_i x_i^n$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group