2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Наивные вопросы о локальном гомеоморфизме
Сообщение03.08.2017, 11:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Это мне пока рано. Я еще не брался за многообразия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о локальном гомеоморфизме
Сообщение03.08.2017, 12:45 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Anton_Peplov в сообщении #1236677 писал(а):
Отображение $X \to Y$ называется локальным гомеоморфизмом, если у каждой точки $x \in X$ найдется такая окрестность $U$, что:

1. $f(U)$ открыто в $Y$.
2. Сокращение $f_{|U,f(U)}$ -- гомеоморфизм.
Можете ли Вы найти ошибку в моём рассуждении?
Пусть у точки $x$ нашлась такая окрестность $U$, что выполняется свойство 2: $f_{|U,f(U)}$ — гомеоморфизм. Рассмотрим отображение $f^{-1}: f(U)\to U$. Оно непрерывно, следовательно, прообраз любого открытого множества открыт. Множество $U$ открыто как окрестность $x$, значит, его прообраз относительно отображения $f^{-1}$, то есть $f(U)$ — также открытое множество.
Тем самым требование 1 в определении оказывается излишним.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о локальном гомеоморфизме
Сообщение03.08.2017, 13:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
svv в сообщении #1237978 писал(а):
Можете ли Вы найти ошибку в моём рассуждении?
Да.
Рассмотренное Вами отображение $f^{-1}_{|f(U), U}$ действует из подпространства $f(U)$ с индуцированной из $Y$ топологией в подпространство $U$ с индуцированной из $X$ топологией. Нельзя смешивать открытость множества в подпространстве с его открытостью в исходном пространстве, что Вы в своем рассуждении делаете два раза.
Тот факт, что $U$ открыто в топологии $X$, не имеет значения для функции $f^{-1}_{|f(U), U}$, т.к. она действует в подпространство $U$ со своей собственной топологией. Из того, что эта функция непрерывна, следует только, что прообраз множества, открытого в топологии $U$, открыт в топологии $f(U)$. Да, $U$ открыто в своей собственной топологии, просто по определению топологического пространства. И, пользуясь Вашими дальнейшими рассуждениями, можно доказать, что и $f(U)$ открыто в своей собственной топологии. Правда, нет никакого смысла это доказывать, ибо это так, опять же, просто по определению топологического пространства. Но из этого никак не следует, что $f(U)$ открыто и в топологии $Y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о локальном гомеоморфизме
Сообщение03.08.2017, 15:09 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о локальном гомеоморфизме
Сообщение03.08.2017, 15:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Может это и так вам очевидно, но на всякий случай скажу, что два самых естественных примера (и, кажется, единственных естественных) локальных гомеоморфимзмов - это накрытия и погружения. Даже если вы ещё не знаете что это, то на картинки в гугле посмотреть всё-таки имеет смысл.

-- 03.08.2017, 14:33 --

(Универсальное накрытие $S^1$ с тотальным пространством $\mathbb{R}$)

https://i.stack.imgur.com/Cf04x.png

(Ориентирующее двулистное накрытие ленты мёбиуса с тотальным пространством цилиндр (видео))

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/transcoded/0/0f/Orientation_cover_of_Mobius_strip.webm/Orientation_cover_of_Mobius_strip.webm.480p.webm

(Погружение интервала в сферу)

https://ncatlab.org/nlab/files/Immersion.png

(Погружение бутылки клейна в $\mathbb{R}^3$)

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5c/Klein_bottle.svg/240px-Klein_bottle.svg.png

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о локальном гомеоморфизме
Сообщение05.08.2017, 13:36 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Anton_Peplov в сообщении #1237958 писал(а):
Это мне пока рано. Я еще не брался за многообразия.

Сформулирую так: компактное пространство нельзя локально гомеоморфно отобразить в $\mathbb R^n$ (более обще -- в связное хаусдорфово некомпактное пространство)

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о локальном гомеоморфизме
Сообщение05.08.2017, 13:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Padawan в сообщении #1238563 писал(а):
компактное пространство нельзя локально гомеоморфно отобразить в $\mathbb R^n$
Для $\mathbb R$ это доказывается дословно так же, как и в случае окружности: непрерывная функция из компактного пространства в $\mathbb R$ достигает своих точных граней. Для $\mathbb R^n$ - не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о локальном гомеоморфизме
Сообщение05.08.2017, 17:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Простите, что влезаю в тему
Padawan в сообщении #1237919 писал(а):
компактное $n$-мерное многообразие (с краем или без) нельзя локально гомеоморфно отобразить в $\mathbb R^n$.

Особенно нельзя это сделать для отрезка или графика гладкой функции:-)

Все-таки $S^1$ нельзя локально гомеоморфно отобразить в $\mathbb{R}$ не из-за компактности, а из-за того что окружность в принципе не вкладывается в прямую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о локальном гомеоморфизме
Сообщение05.08.2017, 18:25 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
demolishka в сообщении #1238633 писал(а):
Особенно нельзя это сделать для отрезка или графика гладкой функции:-)

Нельзя. Прочитайте еще раз определение локального гомеоморфизма.
Anton_Peplov в сообщении #1236677 писал(а):
Отображение $X \to Y$ называется локальным гомеоморфизмом, если у каждой точки $x \in X$ найдется такая окрестность $U$, что:

1. $f(U)$ открыто в $Y$.
2. Сокращение $f_{|U,f(U)}$ -- гомеоморфизм.

Для концевой точки отрезка эти условия будут нарушены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о локальном гомеоморфизме
Сообщение05.08.2017, 20:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Anton_Peplov в сообщении #1238570 писал(а):
Для $\mathbb R$ это доказывается дословно так же, как и в случае окружности: непрерывная функция из компактного пространства в $\mathbb R$ достигает своих точных граней. Для $\mathbb R^n$ - не знаю.


(спойлер)

Образ компакта -- компакт. Рассмотрим любую точку $x\in X$, такую что $f(x)\in \partial f(X)$. В этой точке нарушактся Свойство 1, поскольку никакое множество вида $f(U)$ не может содержать никакой окрестности точки $f(x)\in \mathbb R^n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о локальном гомеоморфизме
Сообщение05.08.2017, 22:04 
Заслуженный участник


31/12/15
922
Кто читал мой учебник теории категорий, тот поймёт совсем простой пример пучков и локальных гомеоморфизмов. Берём упорядоченное множество $\mathsf{K}$, рассматриваем его как категорию. Можно превратить его в топологическое пространство, взяв в качестве открытых множеств коидеалы (множества моментов времени, содержащие вместе с каждым моментом все лежащие выше). Тогда функторы $F\colon\mathsf{K}\to\mathsf{Set}$ (множества, меняющиеся со временем) будут в точности пучками над топологическим пространством $\mathsf{K}$. Каждый такой функтор $F$ тоже можно рассматривать как топологическое пространство, в качестве открытых множеств берутся теоретико-категорные подобъекты (они тоже растут кверху, вместе с каждым ростком содержат всё, что из него получается со временем). Естественные преобразования функторов друг в друга будут локальными гомеоморфизмами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о локальном гомеоморфизме
Сообщение06.08.2017, 18:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377

(Оффтоп)

Пример хороший, обобщается до пучков на любом топ. пространстве (и даже сайте), порядок ни к чему, как я понимаю. Это, в сущности, то же накрытие, только в чуть большей общности. Олсо:
george66 в сообщении #1238690 писал(а):
$F\colon\mathsf{K}\to\mathsf{Set}$

разве не из $\mathsf{K}^{op}$?
UPD: а, так это не обобщение накрытий, а ровно накрытия и есть, вот прям в точности определение накрытия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о локальном гомеоморфизме
Сообщение06.08.2017, 19:56 
Заслуженный участник


31/12/15
922
Это весьма специальный случай топологических пространств (пересечение любого семейства открытых множеств открыто, топология вырождается в порядок). Возьмите шкалу из двух объектов и одной стрелки, это будет пространство под названием "связное двоеточие".

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о локальном гомеоморфизме
Сообщение06.08.2017, 20:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Взял. А вы возьмите шкалу из одного объекта и с одной тождественной стрелкой, это будет пространство под названием "синглтон". Вместе подержим.

Не обижайтесь, просто не понял к чему вы :з

-- 06.08.2017, 19:08 --

А, действительно "op" не нужен, если стартуем с линейного порядка, а не с чупа включений открытых множеств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наивные вопросы о локальном гомеоморфизме
Сообщение06.08.2017, 20:09 
Заслуженный участник


31/12/15
922
На любом топологическом пространстве можно определить порядок между точками (порядок Александрова): $x\leqslant y$ если любое открытое множество, содержащее $x$, содержит также $y$. Для хаусдорфовых пространств этот порядок вырождается в равенство. Наоборот, любое упорядоченное множество можно превратить в топологическое пространство, взяв в качестве открытых множеств коидеалы. Получится пространство с весьма специальным свойством: пересечение любого семейства открытых множеств открыто. Так вот, пучки над такими пространствами можно описать проще, чем в общем случае, а именно как функторы из $\mathsf{K}$ в $\mathsf{Set}$, если упорядоченное множество $\mathsf{K}$ воспринимать как категорию. Это не имеет отношения к общему определению пучка, это самостоятельная конструкция.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group