2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Найти энергию шара
Сообщение26.07.2017, 14:00 


21/07/17
46
Общий потенциал равен:
$$\varphi=-\int\limits_\infty^{0}Edr=-\int\limits_\infty^R Edr-\int\limits_R^{0}Edr=\frac{Q}{R}+\frac{Q}{2R}=\frac{3Q}{2R}$$
Тогда энергия равна:
$$W=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\limits_V\varphi dQ=\frac{3Q^2}{8R}$$
Опять не то :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти энергию шара
Сообщение26.07.2017, 14:04 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
pbm в сообщении #1236023 писал(а):
Общий потенциал равен:

Это в центре. А нужно в любом месте шара. Найти его, кстати, само по себе полезное упражнение.
Также заряд в выражении для потенциала не является переменной интегрирования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти энергию шара
Сообщение26.07.2017, 15:26 


21/07/17
46
Потенциал в произвольной точке равен:
$$\varphi=\frac{3Q}{2R}-\frac{Qr^2}{2R^3}$$
Тогда
$$W=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\limits_V\varphi\rho dV=2\int\limits_{0}^{R}(\frac{3Q}{2R}-\frac{Qr^2}{2R^3})\pi r^2\rho dr=\frac{4Q\pi R^2\rho}{5}=\frac{3Q^2}{5R}$$
И еще один вопрос. Почему в формуле $W=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\limits_V\varphi\rho dV$ стоит $\frac 1 2$ перед интегралом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти энергию шара
Сообщение26.07.2017, 15:34 
Заслуженный участник


01/06/15
1149
С.-Петербург
У Вас решение задачи записано некорректно, что как бы намекает на неполное понимание того, что считаем.
pbm в сообщении #1235888 писал(а):
Для нахождения энергии шара снаружи, будем считать...
$$E=\frac{Q}{R^2}$$$$W_{out}=\frac{1}{8\pi}\int_{R}^{r}(E^2)dr=\frac{1}{8\pi}\int_{R}^{r}\frac{4 \pi Q^2}{r^4}dr$$
Первый интеграл не равен второму и вообще записан неверно. Пределы интегрирования указаны неправильные (интегрировать надо по всему пространству вне шара)... Откуда под вторым интегралом появился коэффициент $4\pi$ (он там к месту, но есть понимание почему?)? Дополнительную неразбериху в Ваши записи вносит периодическое использование одной и той же буквы $R$ для обозначения как постоянного радиуса шара, так и переменной интегрирования.


pbm в сообщении #1235977 писал(а):
Цитата:
Так энергия хранится как раз в поле.

Как доказать данное утверждение.
См. сообщение post1235911.html#p1235911

pbm в сообщении #1236043 писал(а):
еще один вопрос. Почему в формуле $W=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\limits_V\varphi\rho dV$ стоит $\frac 1 2$ перед интегралом.
Рассмотрите задачу по нахождению потенциальной энергии системы дискретных зарядов (скажем, двух) через потенциалы - станет понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти энергию шара
Сообщение26.07.2017, 15:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
pbm
1/2 стоит перед интегралом потому что если исходить из формулы энергии двух зарядов $q_1,q_2$ на расстоянии $r$: $E=q_1q_2/r$, то энергия будет
$$
E=\frac{1}{2}\iiint\iiint \frac{\rho(x,y,z)\rho(x',y',z')}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}\,dxdydz\,dx'dy'dz'=\frac{1}{2}\iiint \phi(x,y,z)\rho(x,y,z)\,dxdydz,
$$
а иначе энергия каждой пары будет подсчитана дважды.

Общая формула
$$
E=\iiint \Bigl(\frac{1}{2}\phi(x,y,z)+\psi(x,y,z)\Bigr)\rho(x,y,z)\,dxdydz,
$$
где $\phi$ потенциал, создаваемый зарядами, а $\psi$ внешний потенциал.

Но самый простой способ решения Вашей задачи: рассмотрим заряженный шар радиуса $r$, на поверхности его потенциал $\frac{4}{3}\pi \rho r^3 \times r^{-1}=\frac{4}{3}\pi \rho r^2$, и дополним его до шара $r+dr$, добавив сферический слой; при этом добавится энергия $\frac{4}{3}\pi \rho r^2\times 4\pi \rho r^2dr=\frac{16}{3}\pi^2\rho^2r^4\,dr $, ну и дальше все ясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти энергию шара
Сообщение26.07.2017, 17:22 


21/07/17
46
Walker_XXI
Энергия шара
$$W=\frac{1}{8\pi}\int\limits_V(ED)dV=\{\varepsilon=1, D=\varepsilon E\}=\frac{1}{8\pi}\int\limits_V(E^2)dV=\frac{1}{8\pi}\int_{o}^{R}(E_{inside}^2)dV+\frac{1}{8\pi}\int_{R}^{\infty}(E_{out}^2)dV$$
напряженность электрического поля
$$E_{inside}=\frac{Qr}{R^3}$$
$$E_{out}=\frac{Q}{r^2}$$
тогда
$$W_{inside}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{R}\frac{Q^2 r^4}{R^6}dr=\frac{Q^2}{10R}$$
$$W_{out}=\frac{1}{2}\int\limits_{R}^{\infty}\frac{Q^2}{r^2}dr=\frac{Q^2}{2R}$$
$$W=W_{inside}+W_{out}=\frac{3Q^2}{5R}$$
Нормально?
Вопрос. Почему нельзя подставить $E=E_{out}+E_{inside}$ в $W=\frac{1}{8\pi}\int\limits_V(ED)dV$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти энергию шара
Сообщение26.07.2017, 18:36 
Заслуженный участник


01/06/15
1149
С.-Петербург
pbm в сообщении #1236060 писал(а):
Нормально?
Да, теперь без ошибок
pbm в сообщении #1236060 писал(а):
Вопрос. Почему нельзя подставить $E=E_{out}+E_{inside}$ в $W=\frac{1}{8\pi}\int\limits_V(ED)dV$
Потому что $E\ne E_{out}+E_{inside}$
$$E=\begin{cases}
E_{out},&\text{outside } (r > R);\\
E_{inside},&\text{inside } (r\leqslant R).
\end{cases} $$

-- 26.07.2017, 19:43 --

Можно добавить, что внутри шара (при $r\leqslant R$) $E_{out} \ne 0$ и наоборот. Поэтому простой суммы не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти энергию шара
Сообщение27.07.2017, 06:43 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
Walker_XXI в сообщении #1236071 писал(а):
Можно добавить, что внутри шара (при $r\leqslant R$) $E_{out} \ne 0$ и наоборот.

Непонятно написано. Что это выражение означает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти энергию шара
Сообщение27.07.2017, 11:42 


21/07/17
46
Всем спасибо. Я разобрался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти энергию шара
Сообщение27.07.2017, 12:16 
Заслуженный участник


01/06/15
1149
С.-Петербург
DimaM в сообщении #1236180 писал(а):
Непонятно написано. Что это выражение означает?

Да, согласен - не хотелось быть многословным. Это добавление надо воспринимать в общем контексте, глядя на правильное выражение для $E$ и формулы, дающие электрическое поле в разных областях пространства. Я смотрю, ТС разобрался. Но если хотите, напишу подробнее.

$E_{out}=\frac{Q}{r^2}$. Это верно только для $r \geqslant R$, но при $r<R$ это выражение автоматически не зануляется. Поэтому его нельзя добавить простым слагаемым в $E$: при $r<R$ оно даст лишний вклад, которого не должно быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти энергию шара
Сообщение28.07.2017, 06:58 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
Walker_XXI в сообщении #1236227 писал(а):
Это верно только для $r \geqslant R$, но при $r<R$ это выражение автоматически не зануляется. Поэтому его нельзя добавить простым слагаемым в $E$: при $r<R$ оно даст лишний вклад, которого не должно быть.

Это какое-то, на мой взгляд, запутывание. Условие поставлено, где какую формулу использовать, и лишние слова только лишние.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group