Помогите решить задачу (Механика)

[wrest]

OknoLombarda в сообщении #1234198 писал(а):

Или я что-то упустил и эти изменения существенно влияют на ход решения задачи?

Нет, в том-то и дело. Вам как раз и пытались донести, что для подъема шарика на нужную высоту надо затратить какое-то количество энергии, которое и нужно посчитать. Именно энергетическое соображение и должно было прийти вам в голову. Попутно оказывается, что в этой задаче все равно куда бить ракеткой -- вниз или вверх, шарик в итоге все равно поднимется на одну и ту же [максимальную] высоту.

Но вот чего вы [пока] не смогли -- это показать, что

OknoLombarda в сообщении #1233975 писал(а):

что после удара об землю, скорость после удара мяча об землю будет равна скорости до удара.

Так что я бы предложил теперь сосредоточиться на этом, а именно, расписать законы сохранения импульса и энергии на случай абсолютно упругого удара и данного в задаче условия, что

OknoLombarda в сообщении #1233975 писал(а):

Масса шарика $m_{sh} \ll m_r$ массы ракетки.

[OknoLombarda]

wrest
Насколько я понимаю, $m_{sh}<<m_r$ означает только то, что он не сможет воздействовать на ракетку. Я имею ввиду, именно при ударе. Но объяснить это никак не могу

Закон сохранения энергии для абсолютно упругого удара будет выглядеть так:
$\frac{m_1v^2_1}{2}+\frac{m_2v^2_2}{2}=\frac{m_1v^2_1'}{2}+\frac{m_2v^2_2'}{2}$
Если рассматривать удар об пол или систему отсчёта, где скорость ракетки до и после удара равна нулю, то кинетическая энергия в системе будет равна кинетической энергии шарика перед ударом, а так как пол/ракетка после удара не начинают движения, то кинетическая энергия полностью возвращается в шарик, поэтому скорость остаётся прежней по модулю

То же самое с законом сохранения импульса,
$m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'$
Скорость пола/ракетки до и после взаимодействия равна нулю, то есть шарик получает равный по модулю импульс, но обратный по направлению

[wrest]

OknoLombarda
Теперь из этих двух уравнений надо получить соотношения для скоростей.
Фишка в том, что из каждого из уравнений по отдельности этого не получить, а из системы можно.
Вот это и надо сделать, пока не обращая внимания на то что одна масса больше другой.
Вам надо записать решения в виде
$v_1'=f_1(m_1,m_2,v_1,v_2)$
$v_2'=f_2(m_1,m_2,v_1,v_2)$
То есть надо найти зависимость скоростей после удара от скоростей до него (и от масс конечно).

[OknoLombarda]

wrest
Видимо, я что-то не так понял, потому что у меня ничего не получается.
Я попытался решить систему, выразив в одном уравнении $v_1'$ и подставив в другое, но мне, видимо, ума не хватает, чтобы выразить потом $v_2'$. Это неверный путь? Или мне просто стоит интенсивнее шевелить извилинами?

[Ms-dos4]

OknoLombarda
Вы не можете решить систему
$\[\left\{ \begin{gathered} Mu = mv + Mu' \hfill \\ \frac{{M{u^2}}}{2} = \frac{{m{v^2}}}{2} + \frac{{Mu{'^2}}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$
где $\[v = \sqrt {2g(H - h)} \]$?

upd.Переписал систему, там всё было верно, но я почему то написал второе подставив указанное $\[v\]$, а в первое нет

[OknoLombarda]

Ms-dos4
Я записал не в таком виде, хех. Я использовал те два уравнения, что писал выше. Прост подумал записать не для данного случая, а для общего. Видимо, ето неправильное было решение

[Ms-dos4]

OknoLombarda
Так это ровно они и есть

[wrest]

OknoLombarda в сообщении #1234568 писал(а):

Или мне просто стоит интенсивнее шевелить извилинами?

Да, вы решаете систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Одно уравнение квадратное, так что возможно, что будет больше чем одно решение.
Решение довольно муторное но не сложное, надо просто аккуратно все сделать.

-- 19.07.2017, 14:23 --

Ms-dos4 в сообщении #1234570 писал(а):

Вы не можете решить систему

Я попросил ТС решить в общем случае. Но можно конечно для начала решить и в частном, когда одна из скоростей нулевая, а потом через переход в новую систему отсчета (которую ТС вроде освоил) получить общее решение.

[Ms-dos4]

wrest
1)Тут это и не требуется - шарик до удара неподвижен же.
2)Если уж решать общий случай упругого столкновения частиц, то почему бы не перейти в Ц-систему?

[wrest]

Ms-dos4 в сообщении #1234582 писал(а):

Если уж решать общий случай упругого столкновения частиц, то почему бы не перейти в Ц-систему?

Можно по-всякому. Но это же ПРР, где задающий вопрос как бы сам пытается разобраться...
Переход в другие ИСО мы освоили вроде :)
Теперь ТС должен догадаться что систему будет проще решить если сделать замену переменных.
Вот когда не догадается -- нужно будет ему подсказать.

Как-то так...

[OknoLombarda]

wrest
У меня тут дискриминант получился длиной в одну вертикальную строку тетради. Я, конечно, могу предоставить сейчас решение, но оно будет очень длинное, очень некрасивое и я усну, пока буду набирать его в TeX, так что расскажите подробнее о замене переменных, пожалуйста. Я не совсем понимаю как это сделать

я прост не вижу что тут можно поменять

upd. Стоп! Я, кажется, понял

[OknoLombarda]

wrest
Не знаю, правильно ли я понял и правильно ли решил, но ход моего решения выглядел следующим образом:

Я привёл уравнения к такому виду:
$\[\left\{ \begin{gathered} \frac{m_1}{m_2}=\frac{v_2'-v_2}{v_1-v_1'} \hfill \\ \frac{m_1}{m_2}=\frac{v^2_2'-v^2_2}{v^2_1-v^2_1'} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$

Затем обозначил $\frac{m_1}{m_2}$ как $x$. Решение приводить не буду, но получил я следующее:

$v_1'=\frac{m_1(v_1-2v_2)-v_1m_2}{m_1+m_2}$

$v_2'=\frac{m_1}{m_2}(\frac{2v_1m_2-2v_2m_1}{m_1+m_2})+v_2$

[Ms-dos4]

OknoLombarda
Так, во первых, прекратите уже решать ту систему. Она не является никакой "общей". Если уж хотите заняться общей системой, рассматривайте

$$\[\left\{ \begin{gathered} {m_1}{{\vec v}_1} + {m_2}{{\vec v}_2} = {m_1}\vec v{'_1} + {m_2}\vec v{'_2} \hfill \\ \frac{{{m_1}v_1^2}}{2} + \frac{{{m_2}v_2^2}}{2} = \frac{{{m_1}v'_1^2}}{2} + \frac{{{m_2}v'_2^2}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$$

Именно такую, в векторном виде. Потому, что та система отражает тоже весьма частный случай. И для решения данной, перейдите в Ц-систему
Во вторых, вы и ту систему неверно решили.
Ну и в третьих, займитесь уже задачей.

[wrest]

OknoLombarda в сообщении #1234607 писал(а):

Я привёл уравнения к такому виду:
$\[\left\{ \begin{gathered} \frac{m_1}{m_2}=\frac{v_2'-v_2}{v_1-v_1'} \hfill \\ \frac{m_1}{m_2}=\frac{v^2_2'-v^2_2}{v^2_1-v^2_1'} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$

Можно и к такому. Если нижнее уравнение поделить на верхнее, то получаем:
$\frac{v^2_2'-v^2_2}{v^2_1-v^2_1'}\cdot \frac{v_1-v_1'}{v_2'-v_2}=1$
Теперь делим. Учитываем, что
$\dfrac{a^2-b^2}{a-b}=\dfrac{(a-b)(a+b)}{a-b}=a+b$
С учетом вышеуказанного, получаем

$\dfrac{v^2_2'-v^2_2}{v^2_1-v^2_1'}\cdot \dfrac{v_1-v_1'}{v_2'-v_2}=\dfrac{v_2'+v_2}{v_1'+v_1}=1$
Или просто

$$v_2'+v_2=v_1'+v_1 \eqno(1)$$

OknoLombarda в сообщении #1234607 писал(а):

$v_1'=\frac{m_1(v_1-2v_2)-v_1m_2}{m_1+m_2}$

Ошибка в одном из трех знаков слагаемых в числителе.

OknoLombarda в сообщении #1234607 писал(а):

$v_2'=\frac{m_1}{m_2}(\frac{2v_1m_2-2v_2m_1}{m_1+m_2})+v_2$

Забавно... Вам не кажется, что в силу симметричности (по индексам 1 и 2) задачи и решение должно быть таким же симметричным?

Даю подсказку.

1. Выражаете какую-нибудь штрихованную скорость через другую штрихованную из (1).
2. Подставляете выразившуюся скорость в закон сохранения импульса.
3. Находите другую штрихованную скорость через нештрихованные и массы.
6... PROFIT!

Уравнение (1) интересно для запоминания само по себе:
"При абсолютно упругом лобовом ударе двух тел сумма скоростей до и после удара одного тела равна сумме скоростей до и после удара другого тела".

[OknoLombarda]

wrest в сообщении #1234623 писал(а):

Ошибка в одном из трех знаков слагаемых в числителе.

В скобках должен быть плюс, я просто переписал неправильно, но от этого решение верным не станет. Видимо, я где-то ошибся по ходу решения. Правда, сейчас не смогу отыскать причину, ибо записывал всё очень беспорядочно, единственный вариант - перерешивать

wrest в сообщении #1234623 писал(а):

Даю подсказку.

Гражданин выше утверждает, что всё, что я сейчас делаю, - неверно. Я не до конца понимаю почему

По вашей подсказке получится:
$v_2'=v_1'+v_1-v_2$
$v_1'=\frac{v_1(m_1+m_2)+2m_2v_2}{m_1+m_2}$

И действительно, в случае, когда $v_2=0$, начальная скорость ракетки будет равна скорости после удара

Ms-dos4

$u'=\frac{Mu-mv}{M}$

$v=\frac{2Mu}{M+m}$

$u'=\frac{Mu-m(\frac{2Mu}{M+m})}{M}=\frac{M^2u+Mmu-2Mmu}{M(M+m)}=\frac{Mu(M+m)}{M(M+m)}$

$u'=u$