2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Заряд и проводящая сфера. Траектории движения
Сообщение09.07.2017, 18:08 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Давненько у нас не было в Олимпиадном разделе свеженьких задачек.
Тут мне пришла на ум одна идейка, которая моментально раздвоилась на пару интересных на мой взгляд задач. Наверное такие задачи где-то когда-то решались, но я пока не встречал. Поэтому заранее прошу прощения за возможный плагиат.
Поскольку сам я еще не начинал решать задачки и ответов не имею - есть только предварительные соображения, то и помещаю обе задачки в этом, а не Олимпиадном разделе в дву ветках. Ну а если они примут олимпиадный вид, можно будет попросить модераторов перенести туда.
Первая попроще, вторая посложнее.
Так что я пока попридержу вторую задачу, пока не разберемся с первой.
Итак, первая задача, разбивающаяся на несколько подзадач.

1. Имеется фиксированная незаряженная сфера малого радиуса $R$. А вокруг нее по некоторой конечной траектории, достаточно удаленной от сферы, летает точечный положительный заряд $Q$ массы $m$
Определить параметры круговой орбиты и типы некруговых орбит близких и не близких к круговым. А так-же рассмотреть задачу рассеяния этого заряда, если он прилетает из бесконечности с заданными скоростью $v_0$ и прицельным параметром $d$.
Поскольку взаимодействие сферы и заряда вполне себе потенциально, задачка должна решаться стандартными методами про центральные силы.
2. Далее можно варьировать задачу на предмет заряда сферы небольшим положительным зарядиком $q$. Так что на дальних подступах заряд и сфера расталкиваются, и уже где-то поближе начинают притягиваться. Не буду вдаваться в подробности различных ограничений. Они сами потом появятся в процессе обсуждения.
Повторю, когда полностью исследуем варианты этой задачки, дам более сложную и интересную.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряд и проводящая сфера. Траектории движения
Сообщение09.07.2017, 23:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Я бы сферу для начала заземлил, а то $-\frac{a}{r^2}$ - зело плохой потенциал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряд и проводящая сфера. Траектории движения
Сообщение09.07.2017, 23:56 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Вот если заземлить, тогда и будет как вы написали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряд и проводящая сфера. Траектории движения
Сообщение10.07.2017, 00:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Если сфера заземлена, то заряд изображения один, а если изолирована, то два. Джексон. Электродинамика, глава 2, параграфы 2,3.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряд и проводящая сфера. Траектории движения
Сообщение10.07.2017, 00:24 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Вы забыли величину заряда, которая обратно пропорциональна расстоянию от центра сферы
$q=Q\frac{R}{r}$ (метод изображений для сферы)
Короче, в моей постановке потенциал ведет себя как:
$-\frac{\alpha}{r^4}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряд и проводящая сфера. Траектории движения
Сообщение10.07.2017, 00:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Изолированная сфера эквивалентна диполю, ориентированному на заряд (это Вы могли бы сообразить просто из теоремы Гаусса ;), а заземленная - точечному заряду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряд и проводящая сфера. Траектории движения
Сообщение10.07.2017, 00:33 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Вы не учитываете, что диполь не постоянный.
Его момент сам ведет себя как $\frac{1}{r^2}$
Так что с изолированной сферой потенциал $-\frac{\alpha}{r^4}$, а у заземленной $-\frac{\alpha}{r^2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряд и проводящая сфера. Траектории движения
Сообщение10.07.2017, 00:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
То есть с потенциалом $\frac{1}{r^2}$ наконец согласились. Тогда, в условиях Вашей задачи (радиус мал, орбита почти круговая), можно считать в первом приближении, что частица бегает в этом потенциале. Потенциал, однако, плохой - в нем всяких неустойчивостей некоторое количество. Поэтому я и предложил сферу заземлить, тогда в первом приближении будет Кеплеровская задача, и дети (а Вы, наверно, их имели ввиду, поскольку для "серьёзных людей" эта задачка приводится к диф.уру в один щелчок, а дальше - исследование диф.ура, что скорее математика, а не физика) с ней имеют шанс справиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряд и проводящая сфера. Траектории движения
Сообщение10.07.2017, 01:06 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Я не совсем понимаю, почему потенциал Кеплеровский при заземленной сфере. Кеплеровский - это $\frac{1}{r}$, а не $\frac{1}{r^2}$

И потенциал $\frac{1}{r^4}$ не имеет никаких неустойчивостей.

Я просто предложил идти от простого к сложному.
Сначала посмотреть решение для круговой орбиты, подом для слегка возмущенной, потом для произвольной.
Думаю, что только круговая орбита доступна школьникам.
Насколько мне известно, этот потенциал в общем случае дает незамкнутую траекторию. А какую, я не знаю.

Далее - интересный момент, когда сфера слегка заряжена положительным зарядом. То есть вдалеке конструкция будет расталкиваться, а вблизи притягиваться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряд и проводящая сфера. Траектории движения
Сообщение10.07.2017, 01:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Да, в уме промахнулся. Для заземлённой сферы - движение в потенциале $-\frac{qa}{r^2}$, для изолированной - $-\frac{2qa^3}{r^4}$. Замкнутых траекторий нет ни в том, ни в другом. IMHO, школьнику не решить, а студенту - скучно. Круговая орбита в обоих потенциалах неустойчива.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряд и проводящая сфера. Траектории движения
Сообщение10.07.2017, 07:29 
Заслуженный участник


28/12/12
7739
amon в сообщении #1232503 писал(а):
Для заземлённой сферы - движение в потенциале $-\frac{qa}{r^2}$, для изолированной - $-\frac{2qa^3}{r^4}$.

Это, видимо, при $r\gg a$. Если не ставить такого условия, получается $-\dfrac{qa}{r^2-a^2}$ и $-\dfrac{qa^3}{r^2(r^2-a^2)}$, соответственно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряд и проводящая сфера. Траектории движения
Сообщение10.07.2017, 09:00 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Именно так.
Для изолированной сферы при $r\gg a$ и отрицательной общей энергии можно легко вычислить величину апогея и перигя по заданным угловому моменту и энергии. А вот угол между ними зависит от всех параметров задачи. Его можно получить только численно. Так что в общем случае орбита будет незамкнутой. Хотя, параметры можно подобрать так, чтобы замкнуть траектории.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряд и проводящая сфера. Траектории движения
Сообщение10.07.2017, 09:35 
Заслуженный участник


28/12/12
7739
fred1996 в сообщении #1232520 писал(а):
Для изолированной сферы при $r\gg a$ и отрицательной общей энергии можно легко вычислить величину апогея и перигя по заданным угловому моменту и энергии.

При отрицательной общей энергии в таком потенциале возможно только падение на центр, насколько я понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряд и проводящая сфера. Траектории движения
Сообщение10.07.2017, 09:57 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
А, ну да, вы правы.
Там получается биквадратное уравнение для точек поворота $r$ и два корня, но между ними не ложбина, а бугор. Значит либо улетает на бесконечность, либо падает на сферу.
Тогда наверное имеет смысл задача рассеяния.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряд и проводящая сфера. Траектории движения
Сообщение10.07.2017, 10:04 
Заслуженный участник


28/12/12
7739
fred1996 в сообщении #1232528 писал(а):
Там получается биквадратное уравнение для точек поворота $r$ и два корня, но между ними не ложбина, а бугор.

При отрицательной общей энергии доступна только яма при малых $r$. Бугор и хвост соответствуют положительной энергии.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group