2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение Шрёдингера и эффективная масса
Сообщение07.07.2017, 20:35 


28/08/13
521
Я бесконечно далёк от физики твёрдого тела, но люди спрашивают вроде бы простую вещь, которая непонятна.
Есть электрон в некотором поле $U$, вводится стандартно эффективная масса $$m_e=\hbar^2\left( \frac{d^2U}{dk^2}\right)^{-1}$$ и решается стационарное уравнение Шрёдингера:
$$-\frac{\hbar^2}{2}\nabla\cdot\left( \frac{1}{m_e(x)}\nabla \psi(x)\right)+V_e(x)\psi(x)=E\psi(x).$$
А как его получить, это уравнение, как увидеть почему эффективная масса стоит не слева в знаменателе, как в обычном УШ, а после левого оператора $\nabla  $ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Шрёдингера и эффективная масса
Сообщение07.07.2017, 21:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2388
Внутри ускорителя
Ascold в сообщении #1232083 писал(а):
А как его получить, это уравнение, как увидеть почему эффективная масса стоит не слева в знаменателе, как в обычном УШ, а после левого оператора $\nabla$ ?

Если сделать так, то кинетическая энергия не окажется самосопряжённым оператором.

(МНОГАБУКАФФ)

А давайте мы попробуем сделать так, как Вы предполагаете.
Как известно, Гамильтониан -- самосопряжённый оператор, поэтому покажем, что кинетическая энергия вида
$\hat{T}=-\frac{\hbar^2}{2 m(x)} \nabla^2 $ -- тоже самосопряжённый оператор, по известной схеме:

$ \underbrace{ \int_{-\infty}^{+\infty} f^* \hat{T} g dx }_{\langle f, \hat{T} g \rangle} = \underbrace{ \int_{-\infty}^{+\infty} g (\hat{T}f^*)   dx }_{\langle  \hat{T} f, g \rangle} $.

$ \langle f, \hat{T} g \rangle = - \frac{\hbar^2}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} f^* \frac{1}{m(x)} \underbrace{ g'' dx }_{dg'} = - \frac{\hbar^2}{2} \left( \underbrace{ f^* \frac{1}{m(x)} g' |_{-\infty}^{+\infty} }_{=0} - \int_{-\infty}^{+\infty} \left(  \frac{f^*}{m(x)}\right)' g' dx \right) = \ldots = - \frac{\hbar^2}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \underbrace{  \left(  \frac{f^*}{m(x)}\right)'' }_{\underbrace{\frac{(f^*)''}{m(x)}}_{\propto \hat{T}f^*} + \underbrace{2(f^*)'(\frac{1}{m(x)})' + f^*(\frac{1}{m(x)})'' }_{=\text{WTF?!}}}g dx \neq \langle  \hat{T} f, g \rangle$

А если взять $\hat{T} = -\frac{\hbar^2}{2} \nabla \frac{1}{m(x)}  \nabla$, то такой фигни не получится, и кинетическая энергия таки окажется самосопряжённым оператором. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Шрёдингера и эффективная масса
Сообщение08.07.2017, 12:08 


28/08/13
521
madschumacher в сообщении #1232090 писал(а):
Если сделать так, то кинетическая энергия не окажется самосопряжённым оператором.

Благодарю за столь исчерпывающий ответ про то, почему эффективную массу нельзя поставить слева, мне, к сожалению, не пришло на ум проверить оператор кин. энергии на эрмитовость.
Ещё буду признателен, если кто-нибудь укажет литературу, в которой указанное выше уравнение честно выведено, т.е. доказывается, что с использованием эффективной массы как здесь https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D1 ... 1%81%D0%B0 гамильтониан выглядит именно так, а не иначе. Я гуглил one band Schrodinger equation in effective mass approximation и нашлось что-то не то. Можно просто сказать, конечно, что раз перешли к как бы электрону в вакууме, но с массой $m_{eff}$, то и УШ ожидаемо будет иметь вид "как настоящее", а куда массу воткнуть - вопрос вещественности энергии, но как-то это неаккуратно.

(Оффтоп)

И кстати - как на этом форуме делать умлауты - {\''o} даёт ${\''o}$, а не $o$ с двумя точками?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Шрёдингера и эффективная масса
Сообщение08.07.2017, 15:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Если вы хотите написать Schrödinger, то достаточно скопипастить из википедии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Шрёдингера и эффективная масса
Сообщение08.07.2017, 23:36 
Заслуженный участник


29/09/14
1144
Это не выводится "на пальцах". Это не уравнение Шредингера, а шредингеро-подобное уравнение для "огибающей" функции в методе, известном как "приближение огибающих функций". Встречается в расчётах гетероструктур. Часто цитируемый учебник по этой теме:

G. Bastard. "Wave mechanics applied to semiconductor heterostructures"

Cм. там главу 3. Такое уравнение там называется моделью Ben Daniel-Duke. По-видимому, "ноги растут" у неё отсюда:
D. J. BenDaniel and C. B. Duke
Phys. Rev. 152, 683 (1966)

madschumacher уже пояснил, почему зависящая от координаты эффективная масса пишется под знаком оператора дифференцирования: чтобы иметь самосопряжённый "гамильтониан" для огибающей функции. Это самое прямое и простое пояснение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group