Задача на наклон полусферы

[Mathew Rogan]

В общем-то, несложная задача, сводимая к кубическому уравнению. Я решил её, но ответ не сходится с задачником.

Условие:
Сосуд, имеющий форму полусферы, доверху заполнен водой. На какой угол его следует наклонить, чтобы половина воды вылилась?



Моё решение:
1. Свяжем угол наклона $\alpha$ с высотой шарового сегмента $h$. Из рисунка несложно убедиться, что $\sin\alpha = \frac{R-h}{R}$, откуда $h = R(1 - \sin\alpha)$. Для удобства обозначим синус угла буквой $t$ и запишем, что $h = R(1 - t)$.

2. Объём шарового сегмента равен $\frac{1}{3}\pi h^2 (3R-h) $. Подставляя значение $h$, получим, что объём сегмента равен $\frac{1}{3}\pi R^3 (1-t)^2 (t+2) $.

3. Изначальный объём воды равен объёму полушара $\frac{2}{3}\pi R^3$. Приравнивая его удвоенному объёму сегмента, получим: $1 = (1-t)^2 (t+2)$. После несложных преобразований получаем приведённое кубическое уравнение $t^3 - 3t + 1 = 0$.

4. Численное решение этого уравнения (https://www.wolframalpha.com/input/?i=t%5E3+-+3t+%2B1+%3D+0) даёт лишь один подходящий корень: $t \approx 0,3473$. Это соответствует синусу угла, равному примерно 20°.

В задачнике даётся ответ 40°45', то есть в два раза больше. Ошибка в книге или в моём решении? Буду признателен за помощь.

-- 30.06.2017, 11:29 --

Мой вариант мне кажется более правдоподобным чисто из практических соображений:

[svv]

У Вас ответ правильный.

[Lawenan-law]

Я перерешал, ответ такой же

[Mathew Rogan]

svv, Lawenan-law, благодарю.