2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 разложить группу в прямую сумму примарных циклических
Сообщение10.02.2008, 20:47 


27/06/07
95
Помогите решить.
Надо разложить группу <a, b, c | 2a-3b+c=0, 7a-4b+2c=0, 2b-4c=0> в прямую сумму примарных циклических и найти второй по максимальности порядок

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2008, 22:04 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
Либо я чего-то не понял, либо условия 2a-3b+c=0, 7a-4b+2c=0, 2b-4c=0 выполняются только в случае a=b=c=0. :shock:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.02.2008, 11:34 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Действительно не понимаете :) Это же абелевы группы, в них может иметь место кручение, так что из равенства $kx=0$ при целом $k$ не обязано следовать $x=0$.

В группе три порождающих: $a$, $b$ и $c$, связанных определяющими соотношениями

$$
\begin{array}{ccccccc}
2a&-&3b&+&c&=&0 \\
7a&-&4b&+&2c&=&0 \\
&&2b&-&4c&=&0
\end{array}
$$

Если второе умножить на $2$ и сложить с третьим, то получим $14a-6b=0$. А если из второго вычесть удвоенное первое, то будем иметь $3a+2b=0$. Домножив это на $3$ и сложив с предыдущим, получаем $23a=0$.

Теперь домножим первое и второе соотношения на $23$. Получим $-69b+23c=0$ и $-92b+46c=0$. Если первое из этих равенств домножить на $2$ и вычесть из второго, то останется $46b=0$. Сложив это с равенством $-69b+23c=0$, получим $-23b+23c=0$, или, что то же самое, $23c=23b$. Наконец, умножив это на $2$, получим $46c=0$.

Таким образом, любая из образующих группы при умножении на $46$ даёт $0$ и, значит... Дальше уж Вы как-нибудь сами, я уже и так слишком много подсказал. :)

В ответе должна получиться группа $\mathbb{Z}_{23} \times \mathbb{Z}_2$, в которой (с точностью до автоморфизма этой группы) $a = \langle 1,0 \rangle$, $b = \langle 10, 1 \rangle$ и $c = \langle 5,1 \rangle$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.02.2008, 00:34 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
Ах, ну да. Просто привык к мультипликативным группам :(
Вот и сассоциировались указанные соотношения с системой линейных уравнений. Извиняюсь за оффтоп.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.02.2008, 10:13 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
То, что группа, вроде было понятно из названия темы, а то, что абелева --- из обозначений (абелевы группы обычно записывают аддитивно, не абелевы --- мультипликативно).

Я, кстати, не знаю, существует ли стандартный алгоритм для решения подобных задач. То решение, которое я приводил выше --- это результат работы непосредственно с определениями.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.02.2008, 21:27 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
Сглючило меня, признаю и каюсь еще раз.
Открыл сейчас тетрадку с лекциями по алгебре за 2й курс, действительно теорема о разложении абелевой группы в прямую сумму/прямое произведение примарных циклических доказывалась в аддитивных обозначениях (хотя на протяжении всего курса, независимо от абелевости групп, аддитивные и мультипликативные обозначения перемежались).

Там же обнаружил и общий алгоритм, который и дает доказательство теоремы - в принципе, развитие высказанных Вами соображений. Составляется матрица коэффициентов определяющих соотношений, которая целочисленными элементарными преобразованиями строк приводится к диагональному виду:
$$
\left(\begin{matrix}
d_1 & & & & & & \\
& d_2 & & & & & \\
& & \ldots & & & & \\
& & & d_k & & & \\
& & & & 0 & & \\
& & & & & \ldots & \\
& & & & & & 0
\end{matrix}\right)
$$

Тогда группа изоморфна $\mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/d_2\mathbb{Z}\oplus\ldots\oplus\mathbb{Z}/d_k\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\oplus\ldots\oplus\mathbb{Z}$ (количество бесконечных циклических равно количеству нулей на диагонали).
К разложению на примарные циклические перейти не составляет труда.

P.S. Просто мне чаще приходилось иметь дело с разложением в прямое произведение мультипликативных групп $\mathbb{Z}_n^*$ (мультипликативная группа обратимых элементов кольца вычетов по модулю $n$), поэтому и привык к мультипликативных обозначениям.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.11.2008, 13:29 


22/11/08
7
Выложил редкие книги по теории групп и формациям групп. Большинство на английском, но есть и на русском и немецком.

Doerk K., Hawkes T. Finite Soluble Groups
Shmidt R. Subgroup Lattices Of Groups
Ballester-Bolinshes A., Ezquerro L. - Classes Of Groups (+OCR)
Huppert B. Endliche Gruppen I
Huppert_B._Endliche_Gruppen_II
Huppert_B.,_Blackburn_N._Finite Groups II
Huppert B., Blackburn N. Finite Groups III
Kurzweil H., Stellmacher B. The Theory Of Finine Groups. An Introduction
Suzuki M. Group Theory I
Suzuki M. Group Theory II
Шеметков Л.А. Формации конечных групп
Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем

пароль на все архивы - nnm.ru. Посетите мой док scibooksdjvu.nnm.ru

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group