2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Предел с суммой внутри
Сообщение28.06.2017, 19:58 
Аватара пользователя


04/06/17
183
$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{k}{k^2+1}}$

Честно говоря, впервые сталкиваюсь с таким типом предела. Очень бы хотел написать о своих попытках решения, но у меня даже идей нет никаких. Я предполагал, что нужно выразить сумму ряда через $n$ и сразу получим какой-нибудь хороший предел, но ряд расходящийся. Можно просто указать, где и что почитать, чтобы понимать, о чем идет речь. В задачнике Кудрявцева в примерах ничего подобного нет.
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с суммой внутри
Сообщение28.06.2017, 20:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Что значит "расходящийся" применительно к конечному ряду?
Читать надо книги по матану, но Вы их уже читали, как я понимаю. Книги про конкретно этот ряд/предел не ищите: её нет. Книги по лунной или ещё какой-то особой математике тоже не ищите, только по другой причине. Это не особая математика. Самая обычная. Ровно та же, которую Вы учили до этого.
Ну вот, скажем, если бы под суммой было $1\over k$, то понятнее ли было бы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с суммой внутри
Сообщение28.06.2017, 20:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Я так понимаю, этот предел рассматривается в рамках темы "интегральные суммы, определённый интеграл".

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с суммой внутри
Сообщение28.06.2017, 20:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Это была и моя мысль с первого взгляда. Но нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с суммой внутри
Сообщение28.06.2017, 20:40 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Oleg Zubelevich в данном случае очень удачно предлагал использовать правило Лопиталя.
Также можно тупо в лоб найти асимптотику суммы и все

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с суммой внутри
Сообщение28.06.2017, 20:51 
Аватара пользователя


04/06/17
183
ИСН в сообщении #1230275 писал(а):
Это была и моя мысль с первого взгляда. Но нет.


Я разглядел намек на интегральную сумму, но не смог к ней свести.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с суммой внутри
Сообщение28.06.2017, 20:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Это ложный намёк.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с суммой внутри
Сообщение28.06.2017, 21:11 
Аватара пользователя


04/06/17
183
ИСН в сообщении #1230285 писал(а):
Это ложный намёк.



Хм. Тогда мне нужно немного подумать, уже совсем голова не варит. Немного позже вернусь к задаче и попытаюсь все-таки увидеть правильный намек.

Sonic86 в сообщении #1230279 писал(а):
найти асимптотику суммы и все


Боюсь, мне неизвестно, как в данном случае найти асимптотику.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с суммой внутри
Сообщение28.06.2017, 21:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Попробуйте разбить сумму на две и в каждой оценить слагаемые самым большим из них.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с суммой внутри
Сообщение28.06.2017, 21:24 
Заслуженный участник


08/04/08
8556

(Оффтоп)

Я бы начал с сильно более простой задачи: найти асимптотику $\sum\limits_{k=1}^n\frac{P(k)}{Q(k)}$, где $P,Q$ - многочлены. Естественно, я бы сначала рассмотрел интегралы и крайние случаи.


Tiberium в сообщении #1230289 писал(а):
Боюсь, мне неизвестно, как в данном случае найти асимптотику.

Интеграл $\int\limits_1^n \frac{dx}{x}$ найти можете?
А формулу Эйлера-Маклорена знаете? (в Википедии есть)

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с суммой внутри
Сообщение28.06.2017, 21:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
ex-math в сообщении #1230295 писал(а):
Попробуйте разбить сумму на две и в каждой оценить слагаемые самым большим из них.

Это хороший совет для того, кто уже стоит на мосту. Для того, кто в овраге внизу, он бесполезен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с суммой внутри
Сообщение28.06.2017, 21:28 


05/09/16
11468
Каждое слагаемое меньше чем $1/k$
Значит сумма меньше чем...

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с суммой внутри
Сообщение28.06.2017, 22:05 
Аватара пользователя


04/06/17
183
ex-math в сообщении #1230295 писал(а):
Попробуйте разбить сумму на две и в каждой оценить слагаемые самым большим из них.


$\frac{k}{k^2+1}<\frac{k}{k^2}=\frac{1}{k}$

Значит, нашу сумму сверху можно тоже ограничить суммой первых $n$ членов гармонического ряда в виде: $\ln{n}+\gamma$

Имею ли я право, руководствуясь такими соображениями перейти к пределу:$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{\ln{n}}{n}}$, который равен нулю.

Уж извините, если я сейчас откровенную глупость написал, до этого я в универе решал только задачи, которые решаются в уме:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с суммой внутри
Сообщение28.06.2017, 22:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Ну да, всё так. Логарифм, и значит, ноль. Это тоже надо делать в уме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с суммой внутри
Сообщение28.06.2017, 22:25 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Tiberium в сообщении #1230316 писал(а):
Каждое слагаемое меньше чем $1/k$

Дело не в том, что оно меньше. А в том, что ведёт себя как. И, следовательно, оценивается сверху (ну или снизу -- это уже по желанию) через чистую степень с подходящей константой. И совершенно неважно, какой конкретно. Любопытствовать на этот счёт попросту вредно.

Tiberium в сообщении #1230316 писал(а):
нашу сумму сверху можно тоже ограничить суммой первых $n$ членов гармонического ряда в виде: $\ln{n}+\gamma$

И опять же: ссылка на постоянную Эйлера тупо неприлична. Достаточно того, что эта сумма очевидным образом оценивается через логарифм плюс некая константа сверху (ну или ровно с тем же успехом снизу -- в зависимости от того, чего приспичило).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group