2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Жизнь после ураматов
Сообщение29.06.2017, 01:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1652
Москва
Ну-с, продолжим :-)

(Оффтоп)

Ох, боюсь я гнева математиков, но уж больно пообсуждать хочется...


Так вот, я Ваше давешнее утверждение сейчас начну раскладывать, Munin. В хорошем смысле.
Munin в сообщении #1229868 писал(а):
от например, красивейшая тема. Есть у вас ротор или дивергенция векторного поля. И надо само поле восстановить. Так сказать, "найти первообразную". В школе этот вопрос аккуратно обходится: мол, для $n$-мерного пространства у нас есть определённый интеграл, и точка. Нету неопределённого. Как нету? Операции дифференцирования есть (целый набор), а обратных нет?

И тут оказывается, что обратная операция - это решение дифура, ДУЧП. Оказывается, что в 1-мерном случае была неоднозначность типа "добавлять константу", а в $n$-мерном случае неоднозначность устроена намного сложнее, может быть бесконечномерной (типа "с точностью до произвольной функции"). Её можно ограничить, если ввести границы и граничные условия. Но тут очень тонкая грань, надо "не переборщить": сначала у вас получается много решений, потом меньше, потом одно, а потом ни одного - задача будет переопределённой, некорректной.

Я когда говорил там где-то раньше, что моего ума не хватает (пока?..) на УМФ в человеческом исполнении, имел в виду именно подход к ним на основе функционального анализа. Т.е. я выслушал двухсеместровый курс УрЧП, в котором было сделано всё, только чтобы не коснуться функционального анализа. В одном только месте лектор не мог избежать этого: в связи с методом Фурье приходится говорить о задаче Штурма-Лиувилля. И говорить о ней в таком контексте на совсем уж примитивном уровне - как-то неприлично. В остальном в течение всего курса рассказывалось исключительно о технике решения уравнений. Хотелось мне подобрать книгу, в которой бы УрЧП излагались именно с позиций функционального анализа, но пока серьёзно этим делом не занимался.
Munin в сообщении #1229868 писал(а):
Обобщим задачу в трёх направлениях:
- $3\to n$-мерное пространство;
- область, ограниченная топологически сложными границами, с выколотыми множествами, и т. п. (например, в 3-мерном пространстве можно выколоть линию, и по ней пустить ток, тогда магнитное поле этого тока будет безвихревым, но непотенциальным);
- всё пространство может быть искривлённым - неким 3($n$)-мерным многообразием.

Здесь Вы по-моему рассматриваете пример задачи, в которой, скажем так, смыкаются несколько разделов. Таких смыканий и пересечений в математике можно найти немало.
Munin в сообщении #1229868 писал(а):
Metford в сообщении #1229839

писал(а):
Дама, перед которой преклоняюсь - это дифференциальная геометрия. Умница, красавица... :-)
А она, кстати, ураматам кузина двоюродная :-) Тензорные поля на многообразиях, знаете ли, уравнения на них, решения и всякое такое.

И то же самое. В родственных отношениях тут сложно разбираться. Соглашусь с тем, что, действительно, за уравнениями в частных производных чуть ли не целый мир просматривается. Вот к слову скажу, меня в своё время восхитило свойство гидродинамического уравнения Чаплыгина, которое меняет свой тип в разных режимах (дозвуковое течение подчиняется уравнению эллиптического типа, а сверхзвуковое – гиперболического типа, собственно, почему ударные волны возникают). И в дифференциальную геометрию меня привели тоже дифференциальные уравнения - долго объяснять, в детали не вдаюсь.

Так вот, что касается геометрии. Конечно, там возникают очень неслабые уравнения (вроде деривационных или Петерсона-Кодацци). Но я их в этом контексте всегда воспринимал как нечто вторичное. Т.е. вот есть многообразия - у них есть определённые свойства. Ну что поделать, если в таком подходе поверхности рассматриваются локально, а потому неизбежно возникают дифференциальные соотношения. Они суть лишь способ выражения закономерностей, но самостоятельной роли не играют.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group