2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 После перестановки цифр
Сообщение27.06.2017, 14:11 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
В натуральном числе $A$ переставили цифры, получив число $B$, не равное числу $A$.
Оказалось, что сумма цифр числа $A$ равна сумме цифр числа $A+B$.

а) Найти наименьшее возможное значение $A$.
б) Найти наименьшее возможное значение $A+B$.

 Профиль  
                  
 
 Re: После перестановки цифр
Сообщение27.06.2017, 17:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Ясно, что все числа делятся на $9$.
Могу предложить вариант: $108+018=126$
Можно даже переставить, но до перестановки цифр ведущие нули нехороши, а после перестановки — считаются :-) Или нет?
Если нет, то небольшой перебор приведёт.
Вот в этом небольшая досада в подобных задачах. Оговаривать нули многословно, а без этого непонятки. Или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: После перестановки цифр
Сообщение27.06.2017, 22:10 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
gris
Mea culpa, надо было оговорить, что число не может начинаться с нуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: После перестановки цифр
Сообщение30.06.2017, 00:16 


18/04/15
38
Попробую привести решение с минимальным перебором.
Пусть $ \theta(n) $ - функция суммы цифр числа $ n $ (не помню, есть ли для нее общепринятое обозначение). Как уже отметил gris, $ A $ и $ B $ должны делиться на 9. Пусть $ A<B $. Если при суммировании $ A+B $ "в столбик" ни одна из сумм соответствующих разрядов не переваливает за 9, то $ \theta(A+B)=\theta(A)+\theta(B)>\theta(A) $, поэтому сумма цифр хотя бы в одном разряде должна быть не меньше 10, что исключает все числа меньшие 90. При всем этом, 90, 99, 108, 117 не подходят под условие, а следующий кандидат дает 126+216=342. Если существует меньшее значение $ A+B $, то $ A<200 $ и кроме единицы в разряде сотен оно должно содержать еще единицу или двойку. Учитывая наше предписание для суммирования, вариант с единицей отпадает и остается еще одно число-кандидат 162, для которого 162+261=423, что и показывает минимальность суммы 342.

 Профиль  
                  
 
 Re: После перестановки цифр
Сообщение30.06.2017, 09:34 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
lopkityu
Большое спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group