Растяжение стержня

[StaticZero]

Пытаюсь с помощью ЛЛ-7 разобрать задачу о нагруженном на растяжение стержнем.

Пусть есть цилиндрический стержень, расположенный вдоль оси $Ox$. К двум его торцам приложены две силы $\mathbf F$ и $-\mathbf F$ (соответственно, к площадке с нормалью по оси $Ox$ и против неё).

В учебнике тензор напряжений вводится так: пусть на произвольный объём тела $V$ действует суммарная сила

$$\mathbf F = \iiint \limits_V \mathbf f_V \ \mathrm dV,$$

где $\mathbf f_V$ — объёмная плотность силы, которую можно из-за близкодействия межмолекулярных сил представить поверхностным интегралом вида

$$\mathbf F = \oint \limits_{\partial V} \hat \sigma \mathbf n \ \mathrm dS \qquad \text{(обозначения мои)},$$

где $\hat \sigma$ — тензор напряжений. (здесь не нашлось значка для двойного интеграла по замкнутой поверхности \oiint)

Чтобы задать условия на границе стержня, берём объём $V$ равным самому стержню. Получаем тогда

$$ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \oint \hat \sigma \mathbf n \ \mathrm dS = \iint \limits_{\text{торец+}} \hat \sigma \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \mathrm dS + \iint \limits_{\text{торец-}} \hat \sigma \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \mathrm dS + \iint \limits_{\text{бок}} \hat \sigma \begin{pmatrix} 0 \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix} \ \mathrm dS.$$

Противоречий как бы и нет: суммарная сила, действующая на объём стержня, в действительности равна нулю. Но для $\sigma_{xx}$ я не могу указать определённого значения, так как это слагаемое уничтожается.

Два других уравнения, которые учитывают нулевые компоненты суммарной силы по осям $y$ и $z$, приводят к

$$ \begin{cases} \iint \limits_{\text{бок}} (\sigma_{yy} n_y + \sigma_{yz} n_z) \ \mathrm dS + \iint \limits_{\text{торец+}} \sigma_{yx} \ \mathrm dS - \iint \limits_{\text{торец-}} \sigma_{yx} \ \mathrm dS = 0, \\ \\ \iint \limits_{\text{бок}} (\sigma_{zy} n_y + \sigma_{zz} n_z) \ \mathrm dS + \iint \limits_{\text{торец+}} \sigma_{zx} \ \mathrm dS - \iint \limits_{\text{торец-}} \sigma_{zx}\ \mathrm dS = 0 \end{cases} $$

С учётом симметрии тензора два уравнения приходятся на пять неизвестных $\sigma_{yy}$, $\sigma_{zz}$, $\sigma_{xy} = \sigma_{yx}$, $\sigma_{zx} = \sigma_{xz}$ и $\sigma_{yz} = \sigma_{zy}$. Неизвестные $\sigma_{yx}$ и $\sigma_{zx}$ вообще из приведённых уравнений выпадают, остаются, стало быть, три неизвестных, но лучше от этого не становится.

В учебнике (другом, не ЛЛ), где эта задача разбирается, пишут: очевидно, что всё, кроме $\sigma_{xx}$, равно нулю, а $\sigma_{xx} = F/S$, где $S$ --- площадь поперечного сечения стержня. Из каких соображений это очевидно, правда, не уточняют.

Вообще, имеем лишь три уравнения для шести компонент тензора $\hat \sigma$. Где достать ещё три уравнения? Что делать, скажите, пожалуйста?

[Pphantom]

Вообще говоря, в исходной постановке задачи не хватает данных. Если же Вы считаете известными свойства материала, то Вам нужен обобщенный закон Гука.

[StaticZero]

Pphantom в сообщении #1229501 писал(а):

Если же Вы считаете известными свойства материала

Изотропный линейно-упругий стержень. Для него можно написать

$$\hat \sigma = R \operatorname{diag}{\operatorname{tr} {\hat \varepsilon}} + 2 \mu \operatorname{dev}{ \hat \varepsilon}, $$

где $\hat \varepsilon$ -- тензор деформации, $\operatorname{dev} {\hat \varepsilon}$ --- девиатор тензора, равный по определению

$$ \operatorname{dev} {\hat \varepsilon} = \begin{pmatrix} \varepsilon_{xx} - \dfrac{\operatorname{tr}{\hat\varepsilon}}{3} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\ \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} - \dfrac{\operatorname{tr}{\hat\varepsilon}}{3} & \varepsilon_{yz} \\ \varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz} - \dfrac{\operatorname{tr}{\hat\varepsilon}}{3} \end{pmatrix}, $$

$$ R = \lambda +\dfrac{2 \mu}{3} $$

модуль всестороннего сжатия, $\lambda, \mu$ -- коэффициенты Ламе.

Но ведь тензор $\hat \varepsilon$ мне и надо найти.
(Обращать это соотношение относительно $\hat \varepsilon$ я умею, но нужен тензор $\hat \sigma$)

[Pphantom]

StaticZero в сообщении #1229505 писал(а):

Но ведь тензор $\hat \varepsilon$ мне и надо найти.
(Обращать это соотношение относительно $\hat \varepsilon$ я умею, но нужен тензор $\hat \sigma$)

Что-то мне кажется, что эти два предложения противоречат друг другу.

А если серьезно, то Вам необходимо знать приложенное напряжение (оно вроде бы есть) и свойства вещества (модуль Юнга и коэффициент Пуассона или другие параметры, выражаемые через них, например, те же параметры Ламе). Это минимум, без которого задача не будет решаться из самых общих физических соображений. Соответственно, даже если в качестве входных данных используются какие-то комбинации этих величин (или компоненты тензоров напряжения и деформаций), их все равно должно быть как минимум 3 штуки, а у Вас в исходной постановке есть фактически только одна ($\sigma_{xx}$).

[StaticZero]

Я вот чего не понял. Рассмотрим площадку поверхности тела, на которую действует сила с поверхностной плотностью $\mathbf q$:

$$\mathbf F = \iint \limits_S \mathbf q \ \mathrm dS.$$

Площадка эта не обязательно вся поверхность тела. Если на "торец+" стержня действует сила $\mathbf F$ и равномерно распределена, то тогда $\mathbf q = \mathbf F/S$. На этот же торец изнутри стержня действуют внутренние напряжения так, чтобы площадка находилась в равновесии:

$$ \mathbf F + \iint \limits_S \hat \sigma \mathbf n \ \mathrm dS = \mathbf 0. $$

Это означает, что $\mathbf q + \hat \sigma \mathbf n = \mathbf 0$ в каждой точке поверхности. (В ЛЛ-7 написан знак минус вместо плюса. Что тут не так?)

При этом тензор $\hat \sigma$, как я понимаю, здесь (и вообще) относится к конкретной точке поверхности сплошной среды (на поверхности раздела сред или на воображаемой поверхности внутри среды), правильно? В таком случае понятно, что на поверхности "торец+" имеет место

$$ \begin{pmatrix} F/S \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma^{(+)}_{xx} \\ \sigma^{(+)}_{yx} \\ \sigma^{(+)}_{zx} \end{pmatrix}, $$

на поверхности "торец-" имеет место

$$ \begin{pmatrix} -F/S \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sigma^{(-)}_{xx} \\ -\sigma^{(-)}_{yx} \\ -\sigma^{(-)}_{zx} \end{pmatrix}, $$

на поверхности "бок" имеет место $\hat \sigma_0 \mathbf n = \mathbf 0$, причём во всех трёх случаях тензоры $\hat \sigma$, вообще говоря, различны?

[svv]

StaticZero в сообщении #1229493 писал(а):

В учебнике (другом, не ЛЛ), где эта задача разбирается, пишут: очевидно, что всё, кроме $\sigma_{xx}$, равно нулю, а $\sigma_{xx} = F/S$, где $S$ --- площадь поперечного сечения стержня. Из каких соображений это очевидно, правда, не уточняют.

Пусть координата $x$ правого торца стержня равна $a$. Рассмотрим тонкий цилиндрический слой, примыкающий к торцу стержня ($x\in[a-h, a]$). Со стороны «кожи» на него действует сила $\mathbf F$. Со стороны «мяса» — сила
$-\int\limits_{\text{круг }x=a-h}\mathbf e_x \sigma_{xx}\;dS$
Эти силы уравновешивают друг друга. Устремляя $h$ к нулю и пренебрегая поперечной зависимостью $\sigma_{xx}$, получим требуемое.

[StaticZero]

svv в сообщении #1229526 писал(а):

сила
$-\int\limits_{\text{круг }x=a-h}\mathbf e_x \sigma_{xx}|_{x=a-h}\;dS$

Почему минус, уточните, пожалуйста?

StaticZero в сообщении #1229525 писал(а):

Это означает, что $\mathbf q + \hat \sigma \mathbf n = \mathbf 0$ в каждой точке поверхности. (В ЛЛ-7 написан знак минус вместо плюса. Что тут не так?)

-- 25.06.2017, 15:21 --

Pphantom в сообщении #1229520 писал(а):

модуль Юнга и коэффициент Пуассона или другие параметры, выражаемые через них, например, те же параметры Ламе)

Это неявно предполагается заданным, конечно. Всё, что относится к конкретному материалу в задаче, обычно полагается известным.

[svv]

Потому что внешняя нормаль к этому цилиндрическому слою на его внутреннем основании (я его назвал выше «со стороны мяса») равна $-\mathbf e_x$.

[StaticZero]

svv в сообщении #1229529 писал(а):

Потому что внешняя нормаль к этому цилиндрическому слою на его внутреннем основании (я его назвал выше «со стороны мяса») равна $-\mathbf e_x$.

Ага. То есть тут

StaticZero в сообщении #1229525 писал(а):

$$ \mathbf F + \iint \limits_S \hat \sigma \mathbf n \ \mathrm dS = \mathbf 0. $$

нужно учесть, что $\mathbf n$ надо заменить на $-\mathbf n$, ибо внутренние напряжения в точке поверхности направлены вдоль $-\mathbf n$, стало быть.

-- 25.06.2017, 15:55 --

StaticZero в сообщении #1229525 писал(а):

В таком случае понятно, что на поверхности "торец+" имеет место

$$ \begin{pmatrix} F/S \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma^{(+)}_{xx} \\ \sigma^{(+)}_{yx} \\ \sigma^{(+)}_{zx} \end{pmatrix}, $$

на поверхности "торец-" имеет место

$$ \begin{pmatrix} -F/S \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sigma^{(-)}_{xx} \\ -\sigma^{(-)}_{yx} \\ -\sigma^{(-)}_{zx} \end{pmatrix}, $$

на поверхности "бок" имеет место $\hat \sigma_0 \mathbf n = \mathbf 0$, причём во всех трёх случаях тензоры $\hat \sigma$, вообще говоря, различны?

Если так, то у меня тогда общий вопрос: если тензоры $\hat \sigma$ везде разные, то как в итоге найти тензор $\hat \varepsilon$? Какой из $\hat \sigma$ надо взять, чтобы подставить в закон Гука?

[svv]

Значения тензора напряжений на обоих торцах, а также на боковой поверхности, в реальности очень близки друг к другу, а в модели — просто совпадают. Т.е. уж точно не отличаются знаком (если такая мысль возникла). Вся разница их ролей в равновесии сил объясняется исключительно различием в направлении внешней нормали в разных точках поверхности стержня. (Днём я спешил и потому успел прочитать только один Ваш вопрос.)

Приведу общее правило «борьбы со знаками». Выделим ограниченную область $\Omega$ внутри непрерывной среды. Её поверхность $\partial \Omega$.
Рассмотрим элемент поверхности $dS$. Пусть $\mathbf n$ — единичный вектор нормали к $\partial \Omega$, направленный из области наружу.
Сила, с которой окружение действует на среду в области $\Omega$ через элемент поверхности $dS$, равна $\hat \sigma \,\mathbf n\, dS$.
А сила, с которой среда в области $\Omega$ действует на окружение через $dS$, равна $-\hat \sigma \,\mathbf n\, dS$.

[StaticZero]

svv в сообщении #1229622 писал(а):

Значения тензора напряжений на обоих торцах, а также на боковой поверхности, в реальности очень близки друг к другу

А как бы в этом убедиться? Или это некий экспериментальный факт?

svv в сообщении #1229622 писал(а):

в модели — просто совпадают

Я тогда не понимаю, в чем состоит модель. То есть слова "изотропный линейно-упругий стержень" мне понятны, но я не могу извлечь из этого, что значения тензора на границе в любой её точке одинаковы...

За разъяснение про знаки спасибо. Ландау как всегда прожевал рассуждение

[svv]

Если стержень достаточно тонкий, то тензор деформации не зависит от поперечных координат $y,z$, а зависит только от продольной $x$ (это неверно при изгибе стержня, когда одна сторона растягивается, а другая сжимается, но у нас только продольная деформация). Тогда то же справедливо и для тензора напряжений, в силу его линейной зависимости от деформации. На этом основании в каждом сечении тензор напряжений заменяют его средним значением.

Возьмём два поперечных сечения, $x_1$ и $x_2$. Запишем условие равновесия части стержня, находящейся между этими сечениями:
$-\mathbf e_x\; \sigma_{xx}(x_1)\; S+\mathbf e_x \;\sigma_{xx}(x_2)\; S=0$
Отсюда видно, что $\sigma_{xx}$ не зависит также и от выбора сечения.

Сразу приведу пример, когда такой вывод сделать нельзя: наличие дополнительных объёмных сил, действующих на стержень (например, сил тяжести). Очевидно, если взять длинный стержень и подвесить его за один конец, компонента $\sigma_{zz}$ будет максимальной (и положительной) у верхнего конца и нулевой у нижнего.

[amon]

Задачу 3 к параграфу 10 смотрели? Там про кристаллы, но как из кристалла сделать не кристалл, мне кажется, Вы сами догадаетесь.