2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Скалярное произведение и перпендикулярность в (Z_2)^n
Сообщение24.06.2017, 16:17 


08/09/13
210
Я читаю обзор, где доказывается одна теорема в ${\mathbb Z}_2^n$, Автор там определяет (и потом использует) определение скалярного произведения как $x \cdot y = x_1 y_1 + \dots x_n y_n$ для $x,y \in {\mathbb Z}_2^n$, но не уточняет, берётся ли сумма по модулю 2 или просто как число (то есть $x \cdot y \in {\mathbb Z}_2$ или $x \cdot y \in {\mathbb Z}$). И дальше (при использовании обозначения) начинаются проблемы.
Например, используется "пространство, перпендикулярное вектору" (обозначается как $H={\langle{\lambda}\rangle}^{\perp}$ для $\lambda \in {\mathbb Z}_2^n$), и дальше молчаливо предполагается, что для любого вектора оно имеет коразмерность 1, из чего можно сделать вывод, что сумма в скалярном произведении берётся всё-таки по модулю 2 (иначе для $\lambda = (1, \dots, 1)$ перпендикулярное пространство вообще было бы пусто).
Но при таком подходе "перпендикулярное пространство" - никакое не пространство, ведь сумма двух векторов оттуда может ему же не принадлежать. Например, если $\lambda = (0, 0, 0 \dots, 0), a = (1, 1, 0, \dots, 0), b=(0, 1, 1, \dots, 0)$, то $a \in H, b \in H$, но $a+b \not \in H$. По определению, это ведь тогда уже не пространство?
Более того, дальше для этого самого $H={\langle{\lambda}\rangle}^{\perp}$ автор как очевидность говорит, что $H \sqcup H^{\perp} = {\mathbb Z}_2^n$ (объединение дизъюнктивное). И тут уж вообще непонятно, что значит $H^{\perp}$ (что перпендикулярно по модулю 2 одному вектору из $H$, может быть не перпендикулярно второму), и почему $H \cap H^{\perp} = \emptyset$ (вектор вполне может быть перпендикулярен сам себе).

В общем, запутался я. Подскажите хотя бы, каким образом чаще используется конструкция $x_1 y_1 + \dots + x_n y_n$ в ${\mathbb Z}_2^n$? Ясно, что под формальные аксиомы скалярного произведения она не подходит, бери её хоть так (линейность будет нарушена), хоть по модулю 2 (будут перпендикулярные сами себе вектора), но что может быть пропущено именно в этом конкретном случае использовании такой конструкции? И вообще, существует ли какое-то скалярное произведение в ${\mathbb Z}_2^n$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное произведение и перпендикулярность в (Z_2)^n
Сообщение24.06.2017, 16:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Если $K$ поле, то $K^n$ естественно рассматривать как векторное пространство над $K$. Соответственно скалярное произведение тоже принимает значения из $K$.
fractalon в сообщении #1229237 писал(а):
$a+b \not \in H$

Почему это?
fractalon в сообщении #1229237 писал(а):
$H \sqcup H^{\perp} = {\mathbb Z}_2^n$ (объединение дизъюнктивное).

Это конечно бред. Тут никакое не "дизъюнктное объединение", а прямая сумма. Дизъюнктное объединение это сугубо топологическая конструкция, когда нужно, например, объединить две копии вещественной прямой и рассматривать это не как одну прямую, а как две. В Вашем случае ($H=\langle 0 \rangle^{\perp}$), да и в случае ортогонального дополнения до любого подпространства, нулевой элемент лежит и в одном и в другом множестве, поэтому в дизъюнктном объединении будет два нуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное произведение и перпендикулярность в (Z_2)^n
Сообщение24.06.2017, 16:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
fractalon в сообщении #1229237 писал(а):
или просто как число
Э-э-э… А разве элементы $\mathbb Z_2$ — числа? Почему Вы их хотите складывать как числа, а не как элементы $\mathbb Z_2$?
fractalon в сообщении #1229237 писал(а):
дальше молчаливо предполагается, что для любого вектора оно имеет коразмерность 1
Странное что-то…

fractalon в сообщении #1229237 писал(а):
Но при таком подходе "перпендикулярное пространство" - никакое не пространство, ведь сумма двух векторов оттуда может ему же не принадлежать.
Фобос и Деймос! Вообще-то, есть теорема, что всегда получается линейное подпространство. Так что с вашим примером что-то не так.

fractalon в сообщении #1229237 писал(а):
Например, если $\lambda = (0, 0, 0 \dots, 0), a = (1, 1, 0, \dots, 0), b=(0, 1, 1, \dots, 0)$, то $a \in H, b \in H$, но $a+b \not \in H$.
А нельзя ли продемонстрировать соответствующие вычисления?

fractalon в сообщении #1229237 писал(а):
иначе для $\lambda = (1, \dots, 1)$ перпендикулярное пространство вообще было бы пусто
Почему пусто? Нулевой вектор в любом случае "перпендикулярен" (ортогонален) любому.

fractalon в сообщении #1229237 писал(а):
хоть по модулю 2 (будут перпендикулярные сами себе вектора)
Конечно, одна из аксиом скалярного произведения действительно нарушена (её даже и сформулировать-то толком нельзя), так что это надо называть как-то иначе. Но остальные-то аксиомы вполне себе выполняются. Однако из-за отсутствия опыта в обращении с такими "скалярными произведениями" я ничего хорошего не могу сказать ни о коразмерности, ни о "дизъюнктивности" (однако нулевой вектор в любом случае входит и в $H$, и в $H^{\perp}$, и могут быть ещё векторы, "перпендикулярные" сами себе).

demolishka в сообщении #1229239 писал(а):
прямая сумма
Боюсь, что и прямой суммы не будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное произведение и перпендикулярность в (Z_2)^n
Сообщение24.06.2017, 17:16 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Насколько я помню, среди аксиом скалярного произведения наличествует положительность квадрата вектора за единственным исключением нулевого. Ни то, ни другое не выполняется (первое — ввиду отсутствия порядка на ${\mathbb Z}_2$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное произведение и перпендикулярность в (Z_2)^n
Сообщение24.06.2017, 17:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
fractalon в сообщении #1229237 писал(а):
В общем, запутался я. Подскажите хотя бы, каким образом чаще используется конструкция $x_1 y_1 + \dots + x_n y_n$ в ${\mathbb Z}_2^n$? Ясно, что под формальные аксиомы скалярного произведения она не подходит, бери её хоть так (линейность будет нарушена), хоть по модулю 2 (будут перпендикулярные сами себе вектора)

Это выражение берётся по модулю 2 (иначе придать смысл этому выражению вообще нельзя).
Такое выражение называется индефинитное скалярное произведение , его аксиомы совпадают с аксиомами скалярного произведения, кроме аксиомы положительной определённости - она просто отсутствует.

В $\mathbb{Z}_2^n$ такое скалярное произведение ведёт себя аналогично скалярному произведению в псевдоевклидовом пространстве Минковского сигнатуры $(1,1).$ То есть, $(1,0)\perp(0,1),$ а $(1,1)$ нормален сам себе, и ничего страшного. Вектор может лежать в подпространстве, которое ему нормально.

Someone в сообщении #1229241 писал(а):
Однако из-за отсутствия опыта в обращении с такими "скалярными произведениями" я ничего хорошего не могу сказать ни о коразмерности, ни о "дизъюнктивности" (однако нулевой вектор в любом случае входит и в $H$, и в $H^{\perp}$, и могут быть ещё векторы, "перпендикулярные" сами себе).

Большинство фактов обычного скалярного произведения продолжают иметь место, и с коразмерностями и с прямыми суммами там всё окей. Только при решении уравнений надо осторожней быть. Впрочем, каждый отдельный факт легко проверить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное произведение и перпендикулярность в (Z_2)^n
Сообщение24.06.2017, 17:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Munin в сообщении #1229245 писал(а):
и с прямыми суммами там всё окей.
Нету там прямой суммы, как раз потому что есть изотропные (ортогональные себе) векторы.

(UPD. Это бред) Единственные случаи, когда сумма $H + H^{\perp}$ будет прямой - это $H = 0$ и $H = \left<v\right>$, где вектор $v$ имеет нечетный вес.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное произведение и перпендикулярность в (Z_2)^n
Сообщение24.06.2017, 17:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Я бы согласился (вы ж математик, я не могу вам не доверять), но как быть с $H=\{a(1,0,0)+b(0,1,0)\}$?
Впрочем, заранее согласен говорить просто "сумма".

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное произведение и перпендикулярность в (Z_2)^n
Сообщение24.06.2017, 18:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Munin в сообщении #1229251 писал(а):
Я бы согласился (вы ж математик, я не могу вам не доверять), но как быть с $H=\{a(1,0,0)+b(0,1,0)\}$?
Впрочем, заранее согласен говорить просто "сумма".
$H$ содержит вектор $(1, 1, 0)$, ортогональный самому себе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное произведение и перпендикулярность в (Z_2)^n
Сообщение24.06.2017, 18:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
И что?
Стоп: произнесите определение $H^\perp.$ Мне кажется, у нас с вами кванторы разные. (Если я прав, то по вашему определению, плоскости в $\mathbb{R}^3$ перпендикулярно всё пространство.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное произведение и перпендикулярность в (Z_2)^n
Сообщение24.06.2017, 18:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Да, я туплю. Возможны другие случаи. Но иногда все равно не будет прямой суммы, например, если $H = \left<(1,1,0)\right>$

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное произведение и перпендикулярность в (Z_2)^n
Сообщение24.06.2017, 18:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Согласен.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group