Вопрос по группам

[bayah]

Есть такой вопрос:
Верно ли данное утверждение для любой группы -
$o(gh) \leqslant o(g)\cdot o(h)$

, где $g, h \in G$
$o(g)= |<g>|$
$o(g)$ - порядок элемента g - наименьшее натуральное $n$, такое, что $g^n = 1$
$<g> = \{g^n | n \in Z\}$ - циклическая подгруппа порожденная $g$


Теперь собственно соображения. Допустим, есть некая группа $G$ в ней есть $g$ и $h$ которые коммутируют, и задана операция - композиция.
Теперь, рассмотрим $(gh)^2 = (gh)(gh)$. Так как элементы коммутируют, то можно записать $(gh)(hg) = gh^2g = ggh^2 = g^2h^2 $. В таком случае, если $o(g) = n$ и $o(h) = m$, то всего возможно $nm$ вариантов композиций, то есть $o(gh) \leqslant o(g)\cdot o(h)$

А теперь если представить такой пример - вот такой вот произвольной длины наклоненный "огурец" (см. рисунок). Элемент $g$ - это переход некой точки по поверхности огурца на 90 градусов горизонтально. Элемент $h$ - такой же переход на 90 по вертикали. В этом случае $o(g) = o(h) = 4$. Но $o(gh)$ может быть каким угодно и никак не завязано на порядок $g$ и $h$. Получается противоречие.


Вопрос собственно, где косяк? Приведенные в примере "огурец" это вообще группа?

[ET]

bayah в сообщении #1228697 писал(а):

Есть такой вопрос:
Верно ли данное утверждение для любой группы -
$o(gh) \leqslant o(g)\cdot o(h)$

, где $g, h \in G$
$o(g)= |<g>|$

для абелевых групп или прост для коммутирующих $g$ и $h$ - ну , начало вашего следующего абзаца правда похоже на доказательство
А для некоммутирующих
Возьмем группу кубика рубика
$g$ - поворот на 180 градусов одного слоя , порядок=2
$h$ - поворот на 180 градусов соседнего с ним слоя, порядок=2
Вы хотите сказать, что порядок $gh$ $\leqslant 4$ ? Под рукой игрушки нет, но на бумажке не подтверждается. На бумажке я бы предположил, что этот порядок=6

PS Таки правда 6, нашел тут на работе свой эмулятор игрушки...

[iifat]

bayah в сообщении #1228697 писал(а):

Приведенные в примере "огурец" это вообще группа?

Ну уж хотя б на этот-то вопрос ответьте.

[ИСН]

Кому что проще. Я подумал про свободное произведение $\mathbb Z_2*\mathbb Z_2$, да или вообще любых двух конечных групп: порядки элементов конечны, а порядок $\langle ab\rangle$ - бесконечен.

Но это если не коммутируют, конечно. Если коммутируют - Ваше доказательство годится; можно улучшить с произведения до НОК, и вместо "меньше или равно" сказать "делитель". Теперь осталось понять про огурец, что же в нём сломано: коммутативность или групповость? Возьмите, например, элемент $hhgg$, да попробуйте попереставлять.

[ET]

А кто-нибудь понимает, при чем тут огурцы?
Я предполагаю, что ТС имеет ввиду некие преобразования (видимо биекции на самого себя) его поверхности. Какие вообще (как группу) не понял, и какие конкретно в качестве $g$ и $h$ - тоже
Поэтому о чем это вообще такой рисунок - неясно

[mihaild]

Если я правильно понимаю, $g$ получается поворотом каждого вертикального сечения, $h$ - горизонтального. Для приведенной картинки - наклонного цилиндра с непонятно чем на концами - сломана групповость (на концах сечения не обладают нужной симметрией). Коммутативность сломана в любом случае: если применить $hgh$ к обведенной черном точке, то она попадет на верхнюю границу цилиндра выше изначального положения, а если $hhg$ - то ниже.

Еще контрпример для некоммутативного случая (не требующий геометрического воображения или знания, что такое "внешнее произведение" - хотя первым мне в голову пришло именно оно): произведение перестановок $(12)(34)(56)$ и $(23)(45)$.

[ET]

mihaild в сообщении #1228758 писал(а):

Еще контрпример для некоммутативного случая (не требующий геометрического воображения или знания, что такое "внешнее произведение" - хотя первым мне в голову пришло именно оно): произведение перестановок $(12)(34)(56)$ и $(23)(45)$.

Я уже потом понял, что мой пример можно упростить до еще более простого, и более простого чем ваш, как
$g=(1,2)(3,4)$
$h=(4,5)$
(он, собственно в этом и состоит, только в изначальном циклов больше)

[Munin]

bayah в сообщении #1228697 писал(а):

Вопрос собственно, где косяк? Приведенные в примере "огурец" это вообще группа?

Нет, это множество, на котором действуют две функции (= две одноместные операции). От такого множества до группы - дистанция огромного размера.

Бывают множества, на которых действует группа. Это значит, что на множестве действует набор функций, и между этими функциями выполняются аксиомы группы. Их надо проверять явно и отдельно.

И наконец, сама группа тоже является множеством, на котором действует она сама. Но это всего лишь частный случай: каждая группа действует на самых разных множествах, некоторые - проще, чем сама группа. (Например, группа трёхмерных поворотов действует на двумерной сфере в трёхмерном пространстве, а сама представляет собой трёхмерную (полу)сферу - её представить себе труднее.)

[bayah]

iifat в сообщении #1228719 писал(а):

Ну уж хотя б на этот-то вопрос ответьте.

Если бы я мог, то я бы не спрашивал, я же этот пример сам и придумал).
Так, ну сейчас дальше отвечу.

ИСН в сообщении #1228722 писал(а):

Теперь осталось понять про огурец, что же в нём сломано: коммутативность или групповость? Возьмите, например, элемент $hhgg$, да попробуйте попереставлять.

Ну да, получается некоммутативность.
Но и как заметил mihaild, и НЕгрупповость тоже?

mihaild в сообщении #1228758 писал(а):

Для приведенной картинки - наклонного цилиндра с непонятно чем на концами - сломана групповость (на концах сечения не обладают нужной симметрией).

Хотя, мне кажется, не обязательно. Не могу понять.

Munin в сообщении #1228779 писал(а):

Нет, это множество, на котором действуют две функции (= две одноместные операции). От такого множества до группы - дистанция огромного размера.

Ну, я не про сам огурец говорю, а как раз про множество этих перемещений точки.

Munin в сообщении #1228779 писал(а):

Бывают множества, на которых действует группа. Это значит, что на множестве действует набор функций, и между этими функциями выполняются аксиомы группы. Их надо проверять явно и отдельно.

Ну вот - множество перемещений точки состоит из степеней $g$.
И другое множество перемещений точки - из степеней $h$.
На множестве задана бинарная операция - композиция.
Ассоциативность, единица и обратный элемент.
Чем не группа?
Ну точнее две группы, одна относительно $g$ и другая относительно $h$.

[mihaild]

Тело выглядит как на картинке - цилиндр с секторами сферы на конце? Тогда как $h$ действует на точках этих секторов?

[Munin]

bayah в сообщении #1228798 писал(а):

Ну, я не про сам огурец говорю, а как раз про множество этих перемещений точки.

Оно называется орбитой. Но для него верно всё, что я написал: это множество, на котором действуют две функции. Образуют ли они группу - надо выяснять отдельно. С этого надо начинать, вообще-то.

bayah в сообщении #1228798 писал(а):

Ну вот - множество перемещений точки состоит из степеней $g$.
И другое множество перемещений точки - из степеней $h$.
На множестве задана бинарная операция - композиция.
Ассоциативность, единица и обратный элемент.
Чем не группа?

Доказывайте. Ассоциативность, единицу и обратный элемент. Всё как положено.

bayah в сообщении #1228798 писал(а):

Ну точнее две группы, одна относительно $g$ и другая относительно $h$.

Э нет. Если вы берёте их композиции, то должна быть одна группа (с подгруппами - это пожалуйста).

[bayah]

mihaild в сообщении #1228802 писал(а):

Тело выглядит как на картинке - цилиндр с секторами сферы на конце? Тогда как $h$ действует на точках этих секторов?

Нда,.. похоже точка застрянет в конце огурца)

Munin в сообщении #1228821 писал(а):

Э нет. Если вы берёте их композиции, то должна быть одна группа (с подгруппами - это пожалуйста).

Ну да, подгруппы.
Я думал ясно, из контекста, что рассматриваются порядки элементов, а это и есть порядок циклической подгруппы порожденной соответствующим элементом.

[ИСН]

Концы я игнорировал; положим, их вовсе нет, огурец бесконечен или закольцован. Тогда групповость у нас починится, а вот коммутативность - нет.

[bayah]

ИСН в сообщении #1228890 писал(а):

Концы я игнорировал; положим, их вовсе нет, огурец бесконечен или закольцован. Тогда групповость у нас починится, а вот коммутативность - нет.

Да, спасибо, стало понятней)

[bayah]

ИСН в сообщении #1228722 писал(а):

Кому что проще. Я подумал про свободное произведение $\mathbb Z_2*\mathbb Z_2$, да или вообще любых двух конечных групп: порядки элементов конечны, а порядок $\langle ab\rangle$ - бесконечен.

Возвращаясь в прошлое...
А что такое $\mathbb Z_2*\mathbb Z_2$? Если $\mathbb Z_2$ это циклическая группа порядка $2$ что есть $\mathbb Z_2 = <a | a^2> = \{a^0, a^1\}$, тогда $\mathbb Z_2*\mathbb Z_2 = <\{a, b\}|\{a^2, b^2\}> $?