2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Вопрос по группам
Сообщение28.09.2018, 10:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
bayah в сообщении #1342039 писал(а):
$\mathbb Z_2$ это циклическая группа порядка $2$ что есть $\mathbb Z_2 = <a | a^2> = \{a^0, a^1\}$
Извините, это чушь. $\mathbb Z_2$ — это группа из двух элементов $e$ и $a$, в которой $ee=aa=e$ и $ea=ae=a$ ($e$ — единица группы).
Если мы неединичные элементы двух групп $\mathbb Z_2$ обозначим $a$ и $b$, то свободная группа $\mathbb Z_2*\mathbb Z_2$ состоит из всевозможных элементов вида $e$, $a$, $b$, $ab$, $ba$, $aba$, $bab$, $abab$, $baba$,…, а умножение сводится к приписыванию второго множителя к первому и последовательного вычёркивания пар одинаковых соседних элементов (если вычеркнуто всё, то произведение равно $e$). Например, $$abab\cdot baba=ababbaba=abaaba=abba=aa=e.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по группам
Сообщение28.09.2018, 11:39 


03/04/14
303
Someone в сообщении #1342049 писал(а):
Извините, это чушь.

А что чушь, простите, я не понял?
Я вроде бы ровно тоже самое что вы написали и имел ввиду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по группам
Сообщение28.09.2018, 12:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
bayah в сообщении #1342060 писал(а):
А что чушь, простите, я не понял?
Прошу прощения, мне там что-то померещилось не то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по группам
Сообщение29.09.2018, 09:48 


03/04/14
303
Someone в сообщении #1342064 писал(а):
Прошу прощения, мне там что-то померещилось не то.

Да ниче)

А подскажите еще вот что, если для $\mathbb Z_2*\mathbb Z_2$ порядок $<ab>$ бесконечен как мы это поняли?
Просто из факта, что $ab \neq ba$? Типа $(ab)(ab)(ab)...$ никак не сократить до $e$?

А вот если взять другой пример - группу симметрий правильного треугольника и взять два элемента:
$g$ - одно из трех отражений относительно прямой проходящей через вепршину и середину противоположной стороны.
$h$ - поворот на 120 градусов
$|<g>| = 2$
$|<h>| = 3$
$gh \neq hg$

Но $|<gh>| = 2$.

В чем разница в этих двух примерах? Почему в одном случае порядок бесконечен, а в другом конечен?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по группам
Сообщение29.09.2018, 10:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
bayah в сообщении #1342276 писал(а):
Но $|<gh>| = 2$.

В чем разница в этих двух примерах? Почему в одном случае порядок бесконечен, а в другом конечен?
А почему должно быть одинаково? Группы-то разные. В симметрий треугольника $S_3$ есть ещё соотношение $(gh)^2=e$.

bayah в сообщении #1342276 писал(а):
для $\mathbb Z_2*\mathbb Z_2$ порядок $<ab>$ бесконечен
Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по группам
Сообщение29.09.2018, 11:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
На сайте
https://groupprops.subwiki.org/ Groupprops, The Group Properties Wiki
есть образующие и соотношения, кажется, для всех конечных групп.

Например, для $S_3$ приведены варианты:

Для группы симметрий правильного $n$-угольника (диэдральной группы, $\mathrm{Dih}_n$):

И для симметрической группы (группы всех перестановок длины $n,$ $S_n$) есть представление Коксетера

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по группам
Сообщение29.09.2018, 11:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
bayah в сообщении #1342276 писал(а):
А подскажите еще вот что, если для $\mathbb Z_2*\mathbb Z_2$ порядок $<ab>$ бесконечен как мы это поняли?

Звездочка обозначает свободное произведение, то есть никаких нетривиальных соотношений, содержащих элементы первой и второй группы нет. А соотношение $(ab)^n=e$ является нетривиальным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по группам
Сообщение29.09.2018, 11:14 


03/04/14
303
Someone в сообщении #1342277 писал(а):
В симметрий треугольника $S_3$ есть ещё соотношение $(gh)^2=e$.

alcoholist в сообщении #1342291 писал(а):
Звездочка обозначает свободное произведение, то есть никаких нетривиальных соотношений, содержащих элементы первой и второй группы нет. А соотношение $(ab)^n=e$ является нетривиальным.


Ну да, ну да...
Точно.

А, кстати, нетривиальные элементы группы это какие? Только $e$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по группам
Сообщение29.09.2018, 11:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
bayah в сообщении #1342294 писал(а):
А, кстати, нетривиальные элементы группы это какие? Только $e$?

Это единица. А нетривиальность -- про соотношения (слова в свободном алфавите).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по группам
Сообщение29.09.2018, 17:00 


03/04/14
303
alcoholist в сообщении #1342297 писал(а):
Это единица. А нетривиальность -- про соотношения (слова в свободном алфавите).

Просто тут есть такое утверждение, для которого требуется понять верно ли оно для любых групп:
Цитата:
Если все нетривиальные элементы группы имеют порядок 2, то эта группа абелева

Выходит что тут имеются ввиду все элементы кроме единицы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по группам
Сообщение29.09.2018, 17:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
bayah в сообщении #1342348 писал(а):
Выходит что тут имеются ввиду все элементы кроме единицы?
Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по группам
Сообщение29.09.2018, 23:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
bayah в сообщении #1342348 писал(а):
Если все нетривиальные элементы группы имеют порядок 2, то эта группа абелева

ну да, если угодно "порядок не больше двух":$$abab=e\Rightarrow baabab=ba\Rightarrow bbab=ba\Rightarrow ab=ba$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Gg322


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group