Локальная предельная теорема

[slu4ayniyProcess]

Читаю учебник Ширяева по вероятности, раздел про элементарную теорию вероятности. Непонятен один момент в локальной предельной теореме.
Собственно вот сама теорема, и небольшое вступление.



Интересует смысл разброса параметра k. Набросал несколько графиков. По горизонтальной оси значения n.
В качестве p и q взял 0.5.
Черный график - $5 \cdot (n \cdot 0.25)^{1/2} $, как пример $O((npq)^{1/2})$, а 5 как пример значения x
Красный график - $(n \cdot 0.25)^{2/3}$
Зеленый график - $(n \cdot 0.25)^{2/3} \cdot (1/n^{1/10})$
Синий график - $(n \cdot 0.25)^{2/3} \cdot (1/n^{1/3})$



Что из теоремы понял я:
1) P(n, k) начинает равномерно по k сходиться к функции из теоремы если мы берем значения k под красным графиком.
Для значений k выше красного графика сходимость к функции из теоремы никто не гарантирует.
2) Чем "быстрее" сходится бесконечно малая функция из условия, тем "быстрее" (при более маленьких значениях n) P(n,k) сходится к функции из теоремы. Как пример зеленый и синий графики.
3) В таком случае непонятна скорость сходимости (ну или точность). Ведь это же важно? Или об этом будет где то далее по материалу?
4) Как быть с вступлением перед теоремой, где написано, что теорема дает ответ не только для $O((npq)^{1/2})$ но и для $o(npq)^{2/3}$, что как бы говорит, что из второго следует и первое. Но ведь это не так, к примеру при $x=5$ (черный график) есть k не входящие в максимальный диапазон для $o(npq)^{2/3}$ (красный график).

ps: Скорее всего бесконечно малая функция должна быть под степенью 2/3, но т.к. взять ее мы можем любой, представим, что в приведенных формулах она уже выведена из под степени.

[slu4ayniyProcess]

Только осознал, что $o(npq)^{2/3}$ мы точно также можем умножить на число, и она на самом деле в некоторых случаях (когда бесконечно малая в ее составе порядка менее чем 1/2 (ну или точнее $(1/2) / (2/3) = 3/4$, но не суть) по сравнения с $o(n)$) будет убывать медленнее чем $O((npq)^{1/2})$, поэтому вопрос номер 4 отпадает(ну или я вообще в корне ошибаюсь).
Также красный график выходит мы можем скейлить по вертикали на любое число, поэтому пункт 1 тоже неверен. и правильнее будет так
1) Формула при определенных n (больших) не дает оценку для хвостов.
Но какой в этом смысл? там же хвосты очень сильно близки к нулю. А при маленьких n мы всегда можем выбрать такую бесконечно малую функцию, что вообще все k<=n войдут в диапазон.
Поэтому непонятно немного какой смысл в этом ограничении диапазона k? (да я видел доказательство и знаю, почему именно такое ограничение), но все равно непонятно.

[Henrylee]

Если выбирать функцию $\varphi$ по $n$ и загонять туда все k, то это просто означает, что приближенное значение можно получить для любого $k$. Но теорема сильнее. Она про равномерную сходимость. Ограничение говорит о том, что если не ограничивать диапазон для $k$, или ограничить недостаточно (взять слишком большой, а именно, слишком быстро растущий вместе с ростом $n$) то, какое бы большое $n$ мы не выбрали, мы всегда найдём "достаточно крайнее" $k$ из этого неприличного диапазона, что вылезем за наперёд заданную погрешность. А в приличном диапазоне, все $k$ хорошие будут.

[Евгений Машеров]

slu4ayniyProcess в сообщении #1228755 писал(а):

ам же хвосты очень сильно близки к нулю

Зато даже маловероятные хвосты могут быть очень важны. Задавая, скажем, вероятность одновременного обрыва k нитей каната и падения лифта...[

[slu4ayniyProcess]

Henrylee в сообщении #1229937 писал(а):

Если выбирать функцию $\varphi$ по $n$ и загонять туда все k, то это просто означает, что приближенное значение можно получить для любого $k$. Но теорема сильнее. Она про равномерную сходимость. Ограничение говорит о том, что если не ограничивать диапазон для $k$, или ограничить недостаточно (взять слишком большой, а именно, слишком быстро растущий вместе с ростом $n$) то, какое бы большое $n$ мы не выбрали, мы всегда найдём "достаточно крайнее" $k$ из этого неприличного диапазона, что вылезем за наперёд заданную погрешность. А в приличном диапазоне, все $k$ хорошие будут.

Немного начинаю понимать кажется.
В теореме не указана погрешность расчета в зависимости от выбранной формулы $\varphi$ и выбранного конечного n, для которого мы хотим провести расчет.
Если мы посмотрим на красный график $(n \cdot 0.25)^{2/3}$. То он по сути показывает предел возможной скорости роста диапазона в относительном смысле. При большей или равной скорости роста, равномерной сходимости уже не выйдет (т.к. в формуле будет отсутствовать бесконечно малая при n стремящемся к бесконечности).
Если мы возьмем функцию с достаточной скоростью сходимости, чтобы попасть в диапазон, но с большим коэффициентом, к примеру $1000000 \cdot n^{0.01} (n \cdot 0.25)^{2/3}$, то аппроксимирующая функция из теоремы все равно будет равномерно сходиться к P(n,k), но дольше. А если 1000000 заменить на 1 к примеру, то быстрее. И если $n^{0.01}$ заменить на $n^{0.2}$, то еще быстрее.
То есть в теореме могла бы быть указана и скорость сходимости (диапазон погрешности), но по каким то причинам этого нету. Грубо говоря, если берешь большой n, а k не сильно далеко от $n \cdot p$ то получается примерно точно.

А какие преимущества у равномерной сходимости в данном случае? Ну то есть в мат анализе есть теоремы, что мы можем умножать равн. сход. ряд на ограниченную функцию или число, и складывать между собой и получать в итоге тоже равн. сход. ряд, но как это тут применить?
Пробежался еще раз по доказательству интегральной теоремы Муавра-Лапласа, там факт равномерной сходимости был нужен в доказательстве. В этом и смысл собственно?