Простейшие дроби

[student1138]

Здравствуйте.

Такая задача: показать, что множество простейших дробей вида $f/p^n, n \geqslant 1$ (и их линейных комбинаций) является подкольцом кольца $P_0(X)$.

Наверное, я опять неправильно понял условие, т.к. подкльца не получается. Например возьмем дробь $\frac{X}{X^2+1}$, где числитель и знаменатель принадлежат $\mathbb{R}(X)$. Эта дробь простейшая. Однако ее квадрат уже не является простейшей дробью: $(\frac{X}{X^2+1})^2 = \frac{X^2}{(X^2+1)^2} = \frac{f}{p^2}$ т.к. степень числителя не меньше степени простого элемента $p$ в заменателе.

Вот. Что я неправильно понял?

[gris]

Попробуйте эту дробь преобразовать в сумму простейших. У Вас же сказано: множество простейших дробей и их линейных комбинаций.

[student1138]

gris в сообщении #1228486 писал(а):

Попробуйте эту дробь преобразовать в сумму простейших. У Вас же сказано: множество простейших дробей и их линейных комбинаций.

Что-то я не совсем понял что это даст. Если произведение двух простейших дробей (в данном случае квадрат простейшей дроби) не является простейшей дробью то значит подкольца простейшие дроби не образуют.

[gris]

Множество простейших дробей кольца не образует. А множество линейных комбинаций из простейших дробей образует. Или я чего-то не понял. Что там у Вас за $f$ и $p$?

[student1138]

gris в сообщении #1228502 писал(а):

Множество простейших дробей кольца не образует. А множество линейных комбинаций из простейших дробей образует. Или я чего-то не понял. Что там у Вас за $f$ и $p$?

Я привел условие задачи дословно. Как я понял, $p$ - фиксированное. Не знаю считать ли $f$ фиксированным. В моем примере оно фиксированное но это не помогает. По условию задачи сказано показать что что множество таких дробей образует кольцо.

[gris]

Допустим, что $p$ фиксированный многочлен второй степени. А $f$ это многочлен не выше первой степени. Обычно это имеется в виду при разговоре о простейших дробях. В Вашем примере $p=x^2+1$.
$\dfrac xp\cdot \dfrac xp=\dfrac {x^2}{p^2}=\dfrac 1p - \dfrac1{p^2}$
То есть произведение двух простейших дробей равно разности двух простейших дробей. То есть их линейной комбинации.

[student1138]

Цитата:

То есть произведение двух простейших дробей равно разности двух простейших дробей. То есть их линейной комбинации.

Да но при этом это само произведение не является простейшей дробью. Т.е. подмножество простейших дробей не замкнуто относительно операции умножения. Т.е. не является подкольцом. А в условии задачи сказано: Показать, что множество простейших дробей вида ... является подкольцом ...$[/math].

[gris]

student1138 в сообщении #1228467 писал(а):

показать, что множество простейших дробей вида $f/p^n, n \geqslant 1$ (и их линейных комбинаций) является подкольцом кольца $P_0(X)$.

Вот то, что написано в скобках, относится к задаче? Само множество простейших дробей обсуждаемого вида не составляет даже группу по сложению.

[student1138]

Цитата:

Вот то, что написано в скобках, относится к задаче?

Относится. Тогда значит я как-то неправильно понимаю этот текст. Там стоит союз "и", я понимаю его так:
1) Множество дробей обсуждаемого вида является подкольцом.
2) Любая линейная комбинация из таких дробей тоже принадлежит этому подкольцу.

И оба пункта опровергнуты примером выше.
Как надо правильно понимать текст этой задачи? Можете переформулировать?

[gris]

Множество, состоящее из простейших дробей указанного вида и их линейных комбинаций, является подкольцом.
Если мы фиксируем $p$ (например, $p=x^2+1$), то все дроби вида $\dfrac 1p;\dfrac 1{p^2};\dfrac x{p^2};\dfrac x{p^3}...$ плюс их линейные комбинации вида $0; \dfrac {1+x}{p^2}+ \dfrac{1-x}{p^5};$ образуют кольцо. Задача состоит в том, чтобы показать, что произведение любых таких дробей или их комбинаций принадлежит этому множеству, то есть его можно записать в виде линейной комбинации.

[svv]

Имеется в виду:
Показать, что множество $\{$ простейшие дроби вида $f/p^n$ $\cup$ их линейные комбинации $\}$ является подкольцом кольца $P_0(X)$.

[student1138]

Тогда все просто получается.

Ранее в учебнике была доказана теорема что каждая правильная дробь $f/g$ может быть разложена единственным образом в сумму простейших дробей. Причем, знаменателями этих дробей будут степени простых элементов из канонического разложения $g$.

Дальше все очевидно: в дробях рассматриваемого вида разложение $g$ содержит только один элемент $p$. Сумма и произведение двух любых линейных комбинаций таких дробей в знаменателе тоже будет содержать только элемент $p$ в какой-то степени. В соответствии с теоремой, такая дробь может быть разложена в сумму простейших дробей, у которых в знаменателях будет только степень элемента $p$

Кстати хочу уточнить что подразумевается под линейной комбинацией дробей? Я встречал термин "линейная комбинация" только в контексте векторных пространств. Правильно ли я тогда понимаю что поле рациональных дробей можно рассматривать как векторное пространство над исходным полем $P$? И линейной комбинацией здесь называют комбинацию вида $a_1\frac{f_1}{g_1}+a_2\frac{f_2}{g_2}+..., a_n \in P$?

[gris]

Если мы находимся в рамках обычной математики , то всё происходит в действительных или комплексных числах. Многочлены имеют коэффициенты оттуда и образуют кольцо над $\mathbb R$ или $\mathbb C$. И рациональные дроби тоже. И соответствующие векторные пространства тоже.
Если же мы находимся в некотором курсе формальной математики над некоторыми специальными кольцами или полями, то предупреждать надо Есть теоремы, которые справедливы для произвольных колец, а есть такие, что отличаются даже для $\mathbb R$ или $\mathbb C$. Ну вот, как теорема о простейших дробях. Они разные в этих двух случаях.