Нестандартный анализ

[qwe8013]

Некоторое время назад узнал о нестандартном анализе, в котором подразумевается существование бесконечно больших и бесконечно малых чисел. У меня вопрос в следующем: нестандартный анализ представляет собой просто более простое доказательство теорем из стандартного анализа, или там есть содержательная теория которой нет в стандартном анализе?

[iifat]

Теория, конечно. В которой некоторые теоремы доказываются проще. И есть теорема о том, что если верна теорема в нестандартном анализе, то верна и в обычном.

[Slav-27]

Я бы сказал, что он "представляет собой" более сложное доказательство теорем из стандартного анализа, уж во всяком случае если учитывать трудность обоснования всей этой кухни (которое требует нетривиальных познаний в области логики).

Если теорема относится к стандартному анализу и её можно доказать нестандартными методами, то можно доказать и стандартными. Вся суть в том, что нестандартный анализ даёт возможность посмотреть на дело "под другим углом"; и известны случаи, когда первое доказательство какого-то нового (стандартного) результата было нестандартным.

Но таких случаев мало. Нестандартный анализ был очень популярен вскоре после того, как его придумали (в 60-х годах) (а-а-а, мы сделали анализ так, как пытался Эйлер!), а потом популярность пошла на спад.

Хорошая книжка для школьников: Успенский. Что такое нестандартный анализ?

[qwe8013]

Slav-27

Т.е. правильно ли я понимаю, что нестандартный анализ - это просто доказательства теорем "как делал Эйлер" и не более?

[Slav-27]

Нет: математически строго (а у Эйлера не было строгого определения предела, производной, интеграла... что не особенно мешало ему получать верные результаты), но как правило сильно сложнее, и вообще не совсем так, хотя схожесть есть, особенно в основных идеях.

[g______d]

g______d в сообщении #1210093 писал(а):

Во-вторых, он не так уж и бесполезен: например, с помощью него недавно была окончательно решена пятая проблема Гильберта
http://annals.math.princeton.edu/2010/172-2/p10

[Someone]

Нестандартный анализ специально строится так, чтобы в нём были доказуемы в точности те же самые утверждения о стандартных объектах математического анализа, которые доказуемы в стандартном математическом анализе. Однако в нестандартном анализе, кроме стандартных объектов, появляются ещё нестандартные. Естественно, появляются и новые утверждения о нестандартных объектах, которых нет в стандартном математическом анализе.

Однако построение и обоснование нестандартного анализа требует весьма сложных методов, которые были неизвестны в то время, когда создавался математический анализ. Поэтому в XIX веке развитие пошло по пути введения понятия предела и использования его для обоснования математического анализа, а не по пути, по которому пытались идти основоположники математического анализа.

[ewert]

Slav-27 в сообщении #1228021 писал(а):

а у Эйлера не было строгого определения предела, производной, интеграла... что не особенно мешало ему получать верные результаты

А у Коши не было критерия Коши просто потому, что не было предмету разговору (вещественных чисел). Но, тем не менее, критерий -- всё же был.

qwe8013 в сообщении #1227996 писал(а):

или там есть содержательная теория которой нет в стандартном анализе?

Содержательная, может, и есть (я не в курсе). Но чего там точно нет и не может быть -- так это конструктивности в вычислительном смысле. Т.е. выхода на вычислительные алгоритмы. Между тем классический анализ именно из нацеленности на алгоритмы и вышел.

[qwe8013]

Someone

Цитата:

Естественно, появляются и новые утверждения о нестандартных объектах, которых нет в стандартном математическом анализе.

Но, как я понимаю, каких-то новых результатов в приложении например к физике в нём нет. Хотя, какие там есть содержательные утверждения выходящие за рамка стандартного анализа? Как говорит википедия, нестандартный анализ не ладит с аксиомой детерминированности, это так? И что-то я слышал о возможности определять методами нестандартного анализа обобщённые функции.

[Someone]

qwe8013 в сообщении #1228150 писал(а):

Хотя, какие там есть содержательные утверждения выходящие за рамка стандартного анализа?

Someone в сообщении #1228079 писал(а):

Нестандартный анализ специально строится так, чтобы в нём были доказуемы в точности те же самые утверждения о стандартных объектах математического анализа, которые доказуемы в стандартном математическом анализе.

Что касается нестандартных объектов, то в стандартном математическом анализе их нет, а в нестандартном они есть. И утверждения о нестандартных объектах могут быть вполне содержательными; естественно, в стандартном математическом анализе их нет. Разве я об этом в предыдущем сообщении непонятно сказал?

qwe8013 в сообщении #1228150 писал(а):

Как говорит википедия, нестандартный анализ не ладит с аксиомой детерминированности, это так?

Первый раз об этом слышу. Правда, я этим и не интересовался никогда. Аксиома детерминированности, конечно, забавная штука, но нафига она Вам сдалась? Аксиома выбора гораздо естественнее и удобнее (настолько, что нужно специально учиться распознавать её использование).

qwe8013 в сообщении #1228150 писал(а):

И что-то я слышал о возможности определять методами нестандартного анализа обобщённые функции.

Ну, видите ли, если мы стандартный математический анализ заменим на нестандартный, то и всё, что нужно, в нём определить сможем. Все объекты, которые есть в стандартном анализе, автоматически есть и в нестандартном, и обладают в точности теми же свойствами. Я же сказал:

Someone в сообщении #1228079 писал(а):

Нестандартный анализ специально строится так, чтобы в нём были доказуемы в точности те же самые утверждения о стандартных объектах математического анализа, которые доказуемы в стандартном математическом анализе.

[qwe8013]

Я задаю дурацкие вопросы просто чтобы понять для себя, стоит ли вообще изучать нестандартный анализ. Какие там есть интересные, содержательные выводы? Может есть какой-то вид функций (я имею ввиду не стандартную функцию, которую расширили, а что-то принципиально новое) которых нет в стандартном анализе, может какие-то операторы, или там я не знаю что?

[arseniiv]

В том логическом аппарате, нужном для его построения, есть интересные идеи. Можно изучать именно его, а нестандартный анализ рассматривать как наглядный пример приложения. А что вы уже изучили? Это тоже важно иметь в виду — может, просто нет ещё смысла думать о нём, или, может, есть что-то интересное куда ближе.

[george66]

Нестандартный анализ даёт преимущество в более абстрактных разделах (в теории меры, допустим, нестандартные доказательства как бы не проще обычных). Дело в том, что он "выявляет чудо откровенно", а при обычном использовании вещей вроде аксиомы выбора оно замаскировано.

[Someone]

george66 в сообщении #1228317 писал(а):

Нестандартный анализ даёт преимущество в более абстрактных разделах (в теории меры, допустим, нестандартные доказательства как бы не проще обычных).

Откуда Вы это знаете, если нестандартный анализ не изучали? Из рекламных заявлений энтузиастов?

qwe8013 в сообщении #1228205 писал(а):

Какие там есть интересные, содержательные выводы? Может есть какой-то вид функций (я имею ввиду не стандартную функцию, которую расширили, а что-то принципиально новое) которых нет в стандартном анализе, может какие-то операторы, или там я не знаю что?

Вы меня не поняли?

Someone в сообщении #1228079 писал(а):

Нестандартный анализ специально строится так, чтобы в нём были доказуемы в точности те же самые утверждения о стандартных объектах математического анализа, которые доказуемы в стандартном математическом анализе.

Все понятия и теоремы, касающиеся стандартных объектов, в обоих вариантах анализа одинаковые. Доказательства иногда проще в стандартном анализе, иногда в нестандартном. Плюс нестандартный анализ отягощён логически очень сложным обоснованием и кучей нестандартных объектов, полезность которых в приложениях не очевидна. Но "зато он в духе идей Лейбница". Да, он одно время был моден, и даже в теории множеств и топологии кое-что было доказано методами нестандартного анализа, но постепенно эта мода прошла. Естественно, нестандартный анализ остался и никуда теперь не денется, и желающие могут его изучать и применять.

[george66]

В мере Лёба я разбирался, лично мне кажется проще.