2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интеграл с логарифмическими особенностями
Сообщение20.06.2017, 23:38 


31/05/17
4
Здравствуйте

Прошу помочь с вычислением интеграла
$$\int \limits_0^1 \frac{1}{x+a} \ln \frac {1-x}{x} dx$$
методами ТФКП.

Для того, чтобы взять этот интеграл, я рассматриваю вспомогательную функцию
$$ F(z) = \frac{1}{z+a} \ln^2 \frac {1-z}{z}$$
и замечаю, что она распадается на регулярные ветви в области $G$, где $G -$ комплексная плоскость с разрезом по отрезку $[0, 1].$

Ввиду этого я выбираю гантелеобразный контур интегрирования, состоящий из полуокружностей $C_r, C'_r$ с центрами в точках $0, 1$ и отрезков, которые их соединяют. Далее я показываю, что интегралы по $C_r, C'_r$ в пределе $r \rightarrow 0$, а также вычет $F(z)$ в бесконечности равны нулю, и, пользуясь определением комплексного логарифма, в согласии с теоремой о вычетах записываю:

$$ \int \limits_0^1 \frac{1}{x+a} \ln^2 \frac {1-x}{x} dz + \int \limits_1^0 \frac{1}{x+a} \left( \ln \frac {1-x}{x} - 2 \pi i \right)^2 dz = 2 \pi i \lim \limits_{x \rightarrow -a} \left( \ln \frac {1-x}{x} - \pi i \right)^2.$$
Сравнивая мнимые части, получаю, что
$$\int \limits_0^1 \frac{1}{x+a} \ln \frac {1-x}{x} dx = \frac{1}{2} \left( \ln^2 \frac{1+a}{a} -
\pi^2 \right).$$

В то же время, правильный ответ:
$$\int \limits_0^1 \frac{1}{x+a} \ln \frac {1-x}{x} dx = \frac{1}{2} \ln^2 \frac{1+a}{a}.$$
Хотелось бы узнать, где я допустил ошибку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл с логарифмическими особенностями
Сообщение21.06.2017, 11:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
А почему вычет в бесконечности у Вас равен нулю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл с логарифмическими особенностями
Сообщение22.06.2017, 17:52 


31/05/17
4
ex-math, спасибо за указание. Я и правда невнимательно посчитал вычет. На самом деле,
$$ \operatorname{Res} \limits_{z=\infty} F(z) = -c_{-1} = \pi^2, $$
и следовательно,
$$\int \limits_0^1 \frac{1}{x+a} \ln \frac {1-x}{x} dx = \frac{1}{2} \ln^2 \frac{1+a}{a}.$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group