Корень n-й степени из натурального числа

[vlad7576]

Здравствуйте, в учебнике алгебры 10-11 Мордковича наткнулся на тему исследовательского проекта, в которой поставлена задача доказать, что корень n-ой степени из натурального числа есть число либо натуральное, либо иррациональное.
Вопрос почему $\sqrt[n]{a}$ может быть натуральным числом- несложен, а вот почему это не может быть рациональным числом- интересно. Далее преставляю немного своих рассуждений.

Предположим это равенство верно
$\sqrt[n]{a}=\frac{m}{t}$, где a-натуральное число, а m/t-несократимая дробь
Но $a=p_1p_2...p_{k-1}p_k$, где $p_k$-простые числа
$\Rightarrow$ $\sqrt[n]{a}=\sqrt[n]{p_1}\sqrt[n]{p_2}...\sqrt[n]{p_k}=\frac{m}{t}$, тогда нам нужно доказать, что корень n-ой степени из простого числа есть число иррациональное, т.к. при умножении иррационального числа на любое другое- получится иррациональное, что противоречит первому равенству, значит мы докажем, что первое равенство невозможно(нам это и нужно), если не принимать во внимание случай, когда $a$ состоит из простых чисел, количество которых кратно n.
На этом я остановился, у меня не получается доказать, что $\sqrt[n]{p_k}$$\notin$Q$
Гугление не дало результата.

[Mihr]

Факторизация здесь не требуется. Всё проще. Возведите обе части равенства $\sqrt[n]{a}=\frac{m}{t}$ в $n$-ю степень.

[Aritaborian]

Возьмём несократимую дробь $m/t \not \in \mathbb N$. Возведём её в степень $n$...

[vlad7576]

Mihr в сообщении #1227437 писал(а):

Факторизация здесь не требуется. Всё проще. Возведите обе части равенства $\sqrt[n]{a}=\frac{m}{t}$ в $n$-ю степень.

Я пытался рассуждать как при доказательстве иррациональности корня из 2. Возможно я туплю, но в общем случае у меня не получается доказать таким методом, зато буквально через 5 минут после публикации смог доказать иррациональность корня n-ой степени из простого числа.
пусть $\sqrt[n]{p}=\frac{s}{z}$, где p-простое. Очевидно, что s не делится нацело на z, значит $\frac{s}{z}$ не целое число, а значит $\frac{s^n}{z^n}$-не целое, а значит не может равняться любому простому числу

[EUgeneUS]

vlad7576
А где Вы в этом доказательстве использовали, что $p$ - простое?

"...не целое, а значит не может равняться любому (какому?) числу"

[Someone]

vlad7576 в сообщении #1227434 писал(а):

при умножении иррационального числа на любое другое- получится иррациональное

Это неверно.

vlad7576 в сообщении #1227443 писал(а):

Я пытался рассуждать как при доказательстве иррациональности корня из 2.

Когда я учился в школе, доказательство иррациональности $\sqrt{2}$ мы изучали. Но такого

vlad7576 в сообщении #1227443 писал(а):

s не делится нацело на z, значит $\frac{s}{z}$ не целое число, а значит $\frac{s^n}{z^n}$-не целое

у нас ни в коем случае не было. Было аккуратное доказательство от противного.

[vlad7576]

Someone в сообщении #1227449 писал(а):

vlad7576 в сообщении #1227434 писал(а):

при умножении иррационального числа на любое другое- получится иррациональное

да, прошу прощения, при умножении иррационального числа на любое рациональное. Вроде теперь верное утверждение.

Я все же не понимаю как мне может помочь доказательство подобное доказательству, что корень из двух иррационален. Ведь там было так
$k\sqrt{2}$=m, что не может быть, т.к. m-целое.
А у меня получается $k\sqrt[n]{a}=m$, мне это что-то дает? Ведь я не знаю какое число $\sqrt[n]{a}$.

-- 20.06.2017, 13:56 --

EUgeneUS
Да вы правы. Надо было так:"....а значит не может равняться любому целому числу, а значит и любому простому"

[Anton_Peplov]

vlad7576 в сообщении #1227452 писал(а):

да, прошу прощения, при умножении иррационального числа на любое рациональное. Вроде теперь верное утверждение.

Особенно на ноль.

[Someone]

vlad7576 в сообщении #1227452 писал(а):

Ведь там было так
$k\sqrt{2}$=m, что не может быть, т.к. m-целое.

Да не бывает такого "доказательства". Потому что утверждения "$\sqrt{2}$ иррационально" и "$k\sqrt2$ не целое при любом целом $k\neq 0$" — это одно и то же. Нельзя доказывать утверждение, просто переформулировав его по-другому.

[Mihr]

vlad7576 в сообщении #1227452 писал(а):

А у меня получается $k\sqrt[n]{a}=m$, мне это что-то дает?

Возведите это неравенство в $n$-ю степень. (Вообще-то, лучше было, конечно, не менять на ходу обозначения).

[vlad7576]

Someone
Спасибо, я понял свою глупость и невнимательность. К тому же понял, что забыл доказательство иррациональости корня из 2