2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Трудности с пониманием пределов, производной и дифференциала
Сообщение18.06.2017, 17:49 


28/01/15
662
Сейчас плотно занялся изучением пределов, производной и и дифференциалов.
Изучаю, вроде понятно, но тут же шаг влево-вправо снова неясно.
Что я понял (своими словами). Производная - это скорость изменения зависимой переменной относительно независимой переменной и равна отношению приращения зависимой переменной к отношению приращения независимой переменной при стремлении приращения независимой переменной к $0$.
$f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0} \frac {\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac {df(x)}{dx}$
На этом моменте понимание заканчивается... Напишу, что непонятно.
Приращение $\Delta x$, насколько я понимаю, может принимать 3 принципиальных значения:
1. $\Delta x = 0$
2. $\Delta x > 0$
2.1. $\Delta x = dx$
2.2. $\Delta x > dx$
Приращение $dx$ называется дифференциалом независимой переменной, или дифференциалом аргумента.
Приращение $\Delta f(x)$, насколько я понимаю, аналогично может принимать 3 принципиальных значения:
1. $\Delta f(x) = 0$
2. $\Delta f(x) > 0$
2.1. $\Delta f(x) = df(x)$
2.2. $\Delta f(x) > df(x)$
Приращение $df(x)$ называется дифференциалом зависимой переменной, или дифференциалом функции.
Я так понимаю, что $dx$ и $df(x)$ являются бесконечно малыми величинами, т.е. они больше нуля, но меньше любого конечного заданного наперед числа верно?
То есть идёт $0$, а потом сразу же $dx$ без малейшего промежутка, и $0$ и $df(x)$ аналогично.
Теперь если разбирать варианты соотношений межу $0$ и $df(x)$, то получаются 3 принципиальных варианта:
1. $\Delta x = 0 \Rightarrow \Delta f(x) = 0$
2. $\Delta x > 0 \Rightarrow \Delta f(x) > 0$
2.1. $\Delta x = dx \Rightarrow \Delta f(x) = df(x)$
2.2. $\Delta x > dx \Rightarrow \Delta f(x) > df(x)$
Верно?
Дальше как раз самый непонятный момент. Почему бесконечно малые величины в окрестности разных точек не должны быть равны между собой?!
Этот вопрос возник на основании возможных сравнений бесконечно малых величин:
1. $ dx < df(x)$
2. $ dx = df(x)$
3. $ dx > df(x)$
Я понимаю, что производная показывают как раз, во сколько раз они различаются:
1. $0$
2. $C \in \Large \mathbb {R}$
3. $\infty$
Но я в упор не могу это наглядно представить себе, помогите) Да и еще это деление: одного порядка (с особым выделением числа $1$) и разного порядка (высокого и низкого) - что это за порядок: линейный и нелинейный, степенная или показательная функция или что вообще?
Далее, хочу спросить, верна ли такая запись (никогда её не видел, но она возможна на основании свойств предела с одной стороны, и невозможна с другой стороны, так как в этом свойстве указано, что знаменатель не должен быть равен $0$, а он как раз и равен):
$\lim_{\Delta x\to 0} \frac {\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac {\lim_{\Delta x\to 0} \Delta f(x)}{\lim_{\Delta x\to 0} \Delta x}$
А так как $\lim_{\Delta x\to 0} \frac {\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac {df(x)}{dx}$, то:
$\lim_{\Delta x\to 0} \Delta f(x) = df(x)$
$\lim_{\Delta x\to 0} \Delta x = dx$
Равен 0 всё-таки знаменатель $\lim_{\Delta x\to 0} \Delta x$ или только стремится к 0?
И если эти записи неверны, то какие есть формулы для связи $\Delta f(x)$ и $df(x)$, а также $\Delta x$ и $dx$?
И ещё один из ключевых вопросов, который мне неясен (это уже во многом к физике): производная - это скорость изменения приращения функции относительно приращения аргумента в точке или же между двумя точками?
Поясню: допустим, у нас есть какая-то производная и мы получили её какое-то значение, например, $4$ в точке с координатами $(x_0;f(x_0))$. Так вот, эта скорость рассчитана всё-точки в одной точке $(x_0;f(x_0))$ или между двумя точками $(x_0;f(x_0))$ и $(x_0 + dx;f(x_0) + df(x))$?
Очень надеюсь, что с вашей помощью смогу ответить эти вопросы для себя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трудности с пониманием пределов, производной и дифференциала
Сообщение18.06.2017, 18:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608
Solaris86 в сообщении #1226823 писал(а):
Приращение $\Delta x$, насколько я понимаю, может принимать 3 принципиальных значения:
1. $\Delta x = 0$
2. $\Delta x > 0$
2.1. $\Delta x = dx$
2.2. $\Delta x > dx$
Нет. Если $x$ - независимая переменная, то $\Delta x$ и $dx$ - одно и то же.
Solaris86 в сообщении #1226823 писал(а):
Приращение $\Delta f(x)$, насколько я понимаю, аналогично может принимать 3 принципиальных значения:
1. $\Delta f(x) = 0$
2. $\Delta f(x) > 0$
2.1. $\Delta f(x) = df(x)$
2.2. $\Delta f(x) > df(x)$
Приращение $df(x)$ называется дифференциалом зависимой переменной, или дифференциалом функции.
Непонятно, откуда Вы это взяли. Или сами придумали? Напишите определение дифференциала.
Solaris86 в сообщении #1226823 писал(а):
Я так понимаю, что $dx$ и $df(x)$ являются бесконечно малыми величинами, т.е. они больше нуля, но меньше любого конечного заданного наперед числа верно?
Так думали, кажется, в 17-м веке. В современных учебниках мат.анализа нет ничего даже близко похожего.
Solaris86 в сообщении #1226823 писал(а):
1. $\Delta x = 0 \Rightarrow \Delta f(x) = 0$
2. $\Delta x > 0 \Rightarrow \Delta f(x) > 0$
2.1. $\Delta x = dx \Rightarrow \Delta f(x) = df(x)$
2.2. $\Delta x > dx \Rightarrow \Delta f(x) > df(x)$
Верно?
Это ерунда.
Solaris86 в сообщении #1226823 писал(а):
Далее, хочу спросить, верна ли такая запись (никогда её не видел, но она возможна на основании свойств предела с одной стороны, и невозможна с другой стороны, так как в этом свойстве указано, что знаменатель не должен быть равен $0$, а он как раз и равен):
$\lim_{\Delta x\to 0} \frac {\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac {\lim_{\Delta x\to 0} \Delta f(x)}{\lim_{\Delta x\to 0} \Delta x}$
Запись неверна, и Вы правильно объяснили, почему.
Solaris86 в сообщении #1226823 писал(а):
А так как $\lim_{\Delta x\to 0} \frac {\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac {df(x)}{dx}$, то:
$\lim_{\Delta x\to 0} \Delta f(x) = df(x)$
$\lim_{\Delta x\to 0} \Delta x = dx$
Нет, это неверный вывод. Если отношение двух величин стремится к отношению двух чисел, то отсюда не следует, что каждая величина стремится к соответствующему числу.
Solaris86 в сообщении #1226823 писал(а):
Поясню: допустим, у нас есть какая-то производная и мы получили её какое-то значение, например, $4$ в точке с координатами $(x_0;f(x_0))$. Так вот, эта скорость рассчитана всё-точки в одной точке $(x_0;f(x_0))$ или между двумя точками $(x_0;f(x_0))$ и $(x_0 + dx;f(x_0) + df(x))$?
В одной точке. Называется "мгновенная скорость".
Solaris86 в сообщении #1226823 писал(а):
Очень надеюсь, что с вашей помощью смогу ответить эти вопросы для себя.
Нет, у Вас представления настолько далеки от верных, что ответы на вопросы тут не помогут. Тут надо взять учебник и читать с самого начала. Если непонятны какие-то конкретные определения, теоремы в учебнике, то выписывайте их сюда, можем помочь разобраться.

Вы придумали себе что-то очень сложное и малопонятное. На самом деле, в мат.анализе всё гораздо проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трудности с пониманием пределов, производной и дифференциала
Сообщение18.06.2017, 18:10 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Solaris86 в сообщении #1226823 писал(а):
Сейчас плотно занялся изучением пределов, производной и и дифференциалов.
Что вы читали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Трудности с пониманием пределов, производной и дифференциала
Сообщение18.06.2017, 18:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377

(Оффтоп)

Slav-27 в сообщении #1226829 писал(а):
Так думали, кажется, в 17-м веке. В современных учебниках мат.анализа нет ничего даже близко похожего.


В совсем современных на самом деле есть. ^^

 Профиль  
                  
 
 Re: Трудности с пониманием пределов, производной и дифференциала
Сообщение18.06.2017, 18:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608

(Оффтоп)

kp9r4d в сообщении #1226832 писал(а):
В совсем современных на самом деле есть. ^^
Про нестандартный анализ я знаю. Но это явно не для ТС.
И в современных учебниках именно мат.анализа (а не нестандартного анализа) - таки нету.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трудности с пониманием пределов, производной и дифференциала
Сообщение18.06.2017, 18:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва

(Оффтоп)

Mikhail_K в сообщении #1226834 писал(а):
И в современных учебниках именно мат.анализа (а не нестандартного анализа) - таки нету.

Т.е. эпсилоны-дельты отменили что ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Трудности с пониманием пределов, производной и дифференциала
Сообщение18.06.2017, 18:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4608

(Оффтоп)

Metford в сообщении #1226836 писал(а):
Т.е. эпсилоны-дельты отменили что ли?
А, вон Вы о чём. Ну, если это так трактовать, то да. Но формулировку ТС сложно так трактовать.
Solaris86 в сообщении #1226823 писал(а):
Я так понимаю, что $dx$ и $df(x)$ являются бесконечно малыми величинами, т.е. они больше нуля, но меньше любого конечного заданного наперед числа верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Трудности с пониманием пределов, производной и дифференциала
Сообщение18.06.2017, 18:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377

(Оффтоп)

Mikhail_K в сообщении #1226834 писал(а):
Про нестандартный анализ я знаю. Но это явно не для ТС.
И в современных учебниках именно мат.анализа (а не нестандартного анализа) - таки нету.


Да я не про нестандартный, а про весьма стандартную идею о том что нильпотенты хорошо подходят для описания инфинитезимальной информации. Ну типа что $p(x+\varepsilon) = p(x) + \varepsilon p'(x)$ ($p$ - многочлен, допустим) где $\varepsilon^2=0$; нестандартный анализ, насколько я знаю, вещь более тонкая и связана с какими-то там нестандартными моделями теории множеств и таким всем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трудности с пониманием пределов, производной и дифференциала
Сообщение18.06.2017, 18:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва

(Оффтоп)

Mikhail_K
Этот разговор начался несколько раньше в другой теме, поэтому я примерно понимал, о чём речь идёт.

Ладно, Вы меня успокоили: а то я уж побоялся, что некоторые товарищи до анализа капитально добрались...

kp9r4d, цитата не моя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трудности с пониманием пределов, производной и дифференциала
Сообщение18.06.2017, 19:05 


05/09/16
11468
Solaris86
Мне кажется вам сперва надо разобраться с пределами и бесконечно малыми (большими) величинами.
Бесконечно малые (большие) величины это НЕ ЧИСЛА! Бесконечно малая (большая) величина не может быть равна какому-то числу.

Касательно производных и дифференциалов, возможно понятней будет если перейти к геометрической иллюстрации, где видно отличие приращение функции от ее дифференциала:
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Трудности с пониманием пределов, производной и дифференциала
Сообщение18.06.2017, 19:09 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Тут уже написали, что дифференциал — функция двух переменных $x$ и $\Delta x$? Может, это что-то прояснит? У семи нянек дитя без глазу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трудности с пониманием пределов, производной и дифференциала
Сообщение18.06.2017, 19:22 
Заслуженный участник


20/08/14
11066
Россия, Москва
К картинке от wrest стоит наверное добавить связь $\Delta x, \Delta y, \Delta f(x)$ с $dx, dy, df(x)$.

-- 18.06.2017, 19:40 --

Например хоть отсюда.
Ещё одна родственная тема.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group