Точное значение экспоненты

[flatte]

В доказательстве того факта, что $(e^x)'=e^x$, используется второй замечательный предел. Однако про него я нашел лишь доказательство существования и оценку $2<e<3$. Буду благодарен, если кто-нибудь подскажет, где можно прочитать про точные вычисления экспоненты, которые можно применить в доказательстве, которое я упомянул в первом предложении. Как пример, ряд Маклорена не подходит, так как в нём непосредственно используется факт $(e^x)'=e^x$.

Перефразируя, я хотел бы узнать доказательство того, что основание натурального логарифма равняется второму замечательному пределу.

[Xaositect]

А как у Вас натуральный логарифм определяется? Как интеграл от $1/x$?

[DeBill]

flatte в сообщении #1226469 писал(а):

доказательство того, что основание натурального логарифма равняется второму замечательному пределу.

Да оно же есть во всех учебниках!
Вот оно:
1. Покажем, что существует предел последовательности $a_n = (1+ \frac{1}{n})^n$
2. Обозначим его через $e$
3. Это число назовем основанием натурального логарифма.
Все!

[mihailm]

flatte в сообщении #1226469 писал(а):

В доказательстве ... используется второй замечательный предел. Однако про него я нашел лишь доказательство существования и оценку $2<e<3$...

Не понял. При попытке найти доказательство второго замечательного предела удалось найти только его существование и оценку??? Что за бред?

[Xaositect]

Я так понял вопрос: экспоненту можно определять двумя способами: как $e^x$, где $e$ - первый замечательный предел, и как функцию, обратную натуральному логарифму $\ln x = \int\limits_1^x \frac{dt}{t}$, надо доказать, что это одно и то же.

[Mihr]

Xaositect в сообщении #1226476 писал(а):

где $e$ - первый замечательный предел

Второй

[Xaositect]

Да, с первого курса их путаю :)

[flatte]

DeBill, тогда почему $e=2,71828....$?

mihailm, внимательнее читаем)

Xaositect, да, по сути именно это, благодарю за уточнение.

[Lia]

flatte в сообщении #1226627 писал(а):

Xaositect, да, по сути именно это, благодарю за уточнение.

flatte
Если все, что Вам нужно - именно это, то какое значение имеет ответ на вопрос

flatte в сообщении #1226627 писал(а):

почему $e=2,71828....$?

?
Вы собрали слишком много вопросов в одном посте, по факту. Какой же Вас интересует на самом деле?

[Xaositect]

flatte в сообщении #1226627 писал(а):

Xaositect, да, по сути именно это, благодарю за уточнение.

Ну тогда из оценок интеграла у нас будет $\frac{1}{n + 1} < \ln (1 + \frac{1}{n}) < \frac{1}{n}$, откуда $\ln (1 + \frac{1}{n})^n < 1$, а $\ln (1 + \frac{1}{n})^{n + 1} > 1$.

[flatte]

Lia, я посчитал, что оба вопроса связаны. Видимо нет, в таком случае меня интересуют оба: почему экспонента равна именно этому числу и почему второй замечательный и функция, обратная логарифму - это одно и то же.

-- 17.06.2017, 22:06 --

Xaositect, а откуда берется такая оценка логарифма?

[Xaositect]

flatte в сообщении #1226637 писал(а):

Xaositect, а откуда берется такая оценка логарифма?

Банальная оценка интеграла через максимальное и минимальное значение функции на отрезке.

[Someone]

flatte в сообщении #1226637 писал(а):

почему экспонента равна именно этому числу

Извините, но экспонента вообще никакому числу не равна. Экспонента — это показательная функция, которая обозначается иногда $\exp(x)$, а иногда $e^x$. А число, о котором Вы говорите, называется "основанием натуральных логарифмов", или "числом Непера", или "числом Эйлера", или "числом $e$". Как видите, у него много названий, но нет того, которое приписываете ему Вы.