Система уравнений

[capt]

Помогите пожалуйста. С чего лучше начать решать эту систему?

$3x^2 - y^2 = x + y$
$2y^2 + xy = 4x - y$

[svv]

Вы видите какие-нибудь «очевидные» решения?

[capt]

svv
я пытался $2y^2$ расписать как $y^2 + y^2$ и там вынести $y$ за скобки, тогда получается $y^2 + y(y+x) = 4x - y$, потом я подставил первое уравнение во второе и завис

[svv]

Я имел в виду не «очевидные действия или методы», а «пары $(x, y)$, для которых очевидно, что они являются решениями». Есть такие для Вас?

[capt]

svv
$y=0$ и $x=0$. Но что это даёт?

[svv]

Отлично. Можно ли сказать: если $x=0$, то $y$ может быть только нулём? Или же есть какое-нибудь решение вроде $x=0, y=346$ ?

[capt]

svv
Нет, нету. 2 корня уже есть

-- 16.06.2017, 16:40 --

svv
Ну, хорошо. Два корня отгадали, а что дальше? Если я не ошибаюсь, то там около 6 корней должно быть.

[svv]

Когда решаете систему уравнений с несколькими переменными, один подходящий набор переменных считается одним корнем, в нашем случае это $(x,y)=(0,0)$. Забегая вперёд, скажу, что у нашей системы 4 корня, то есть 4 пары.
Итак, случай $x=0$ исчерпан, мы откладываем $(0,0)$ в сторонку и смело считаем, что теперь $x\neq 0$.

Запишем явно все коэффициенты:
$3x^2 - 1y^2 = 1x + 1y$
$2y^2 + 1xy = 4x - 1y$
Допустим, кто-то подошёл к доске и стёр все буквы (и их степени). Осталось:
$3 - 1 = 1 + 1$
$2 + 1 = 4 - 1$
Как ни странно, это верные равенства. А о чём это говорит, как Вы думаете? (Очевидно ещё одно решение.)

[capt]

svv
$x_2 = 1$ и $y_2 = 1$.

[svv]

Да, верно. В моей записи — это $(1, 1)$.
На будущее: в алгебраических уравнениях, если нет свободного члена, то нуль (или все нули) — решение. Если сумма коэффициентов равна нулю, то единица (или все единицы) — решение.

Умножьте левую часть первого уравнения на правую часть второго. И наоборот. Эти два произведения равны? Если да, какое уравнение получим? (Никаких скобок пока раскрывать не надо.)

[capt]

svv
$(3x^2 - y^2)(4x - y) = (x + y)(2y^2 + xy)$

[svv]

Да. У этого уравнения — своя особенность. Если Вы раскроете все скобки, то в каждом слагаемом сумма степеней $x$ и $y$ будет равна $3$. То есть (с какими-то коэффициентами) только $x^3, x^2y, xy^2, y^3$. Такое уравнение называется однородным. Если подставить $y=px$, то в силу вышесказанного в каждом слагаемом выделится $x^3$ (хотя степени $p$ будут разные). А так как мы рассматриваем случай $x\neq 0$, то на $x^3$ можно сократить. И мы получаем уравнение с одной неизвестной $p$, что очень хорошо.

Попробуйте.

[capt]

svv
$(3 - p^2)(4 - p) = (1 + p)(2p^2 + p)$

[svv]

Верно.
Теперь, пожалуйста, раскройте скобки, приведите подобные и т.д.

[capt]

svv
$p^3 + 7p^2 + 4p - 12 = 0$