2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Второй дифференциал всё-таки инвариантный?
Сообщение15.06.2017, 19:51 
Аватара пользователя


22/06/12
647
Существо проблемы вот в чём. Пусть есть функция $f(x)$. Возьмём от неё полное приращение:
$$
\mathrm df = f'_x \ \mathrm dx. \eqno (1)
$$
Теперь возьмём полное приращение второго порядка:
$$
\mathrm d^2 f = f''_{xx} \ \mathrm dx^2. \eqno(2)
$$

Теперь изменим ситуацию и параметризуем аргумент: $x = x(t)$. Как известно, в таком случае
$$
\mathrm df = f'_x (x(t)) \dot x \ \mathrm dt. \eqno(3)
$$
Это равенство эквивалентно $(1)$, если в него подставить $\mathrm dx = \dot x \ \mathrm dt$. Теперь попробуем написать второе равенство:
$$
\mathrm d^2 f = \mathrm d \left( \dfrac{\mathrm df(x(t))}{\mathrm dx} \cdot \dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\right) \ \mathrm dt = \mathrm d\left(\dfrac{\mathrm df(x(t))}{\mathrm dx}\right) \dot x \ \mathrm dt + \mathrm d\left(\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\right) \cdot f'_x(x(t)) \ \mathrm dt = \ldots \eqno\left(4 \frac{1}{2}\right)
$$
Здесь очевидно, что $\mathrm d \dot x = \ddot x \ \mathrm dt$. Для того, чтобы найти $\mathrm d(f'_x[x(t)])$, используем правило о сложной функции: $\mathrm d(f'_x[x(t)]) = f''_{xx} \dot x \ \mathrm dt$. Постановка этих двух равенств в $\left(4 \frac{1}{2}\right)$ даёт окончательно равенство $(4)$:
$$
\ldots = \mathrm d^2 f = f''_{xx} \dot x^2 \ \mathrm dt^2 + f'_x \ddot x \ \mathrm dt^2 = \Big(f''_{xx} \dot x^2  + f'_x \ddot x \big) \ \mathrm dt^2. \eqno(4)
$$

Легко видеть, что в среднюю часть $(4)$ входит слагаемое вида $f''_{xx} \dot x^2 \ \mathrm dt^2 = f''_{xx} \ \mathrm dx^2$. Это то слагаемое, которое получается при подстановке $x = x(t)$ в $(2)$. Утверждение о "неинвариантности второго дифференциала" говорит о том, что так делать нельзя.

Однако, второе слагаемое имеет вид $f'_x \ddot x \ \mathrm dt^2 = f'_x \ \mathrm d^2 x$. Всю вместе формулу $(4)$ можно формально переписать в виде
$$
\mathrm d^2 f = f''_{xx} \ \mathrm dx^2 + f'_x \ \mathrm d^2 x, \eqno(5)
$$
который получается и из других соображений:
$$
\mathrm d^2 f = \mathrm d(\mathrm df) = \mathrm d(f'_x \ \mathrm dx) = \mathrm df'_x \ \mathrm dx^2 + f'_x \ \mathrm d(\mathrm dx) = f''_{xx} \ \mathrm dx^2 + f'_x \ \mathrm d^2 x, \eqno(6)
$$
если положить, что в случае, когда $x$ свободная переменная, то $\mathrm d^2 x$ равен нулю, а если $x$ сам является функцией, то $\mathrm d^2 x$ нулю уже не равен.

Так в чём состоит польза от утверждения, что второй дифференциал "не инвариантный"? Ведь если подставлять туда $x = x(t)$ в его правильную форму
$$
\mathrm d^2 f = f''_{xx} \ \mathrm dx^2 + f'_x \ \mathrm d^2 x,
$$
то всё становится на свои места.

 Профиль  
                  
 
 Re: Второй дифференциал всё-таки инвариантный?
Сообщение15.06.2017, 20:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14493
Новомосковск
Дык, неинвариантность и означает, что вместо формулы (2) получается (5). А польза этого предупреждения состоит в том, чтобы помнить его и понимать, когда можно пользоваться формулой (2), а когда нужно использовать более громоздкую формулу (5).

 Профиль  
                  
 
 Re: Второй дифференциал всё-таки инвариантный?
Сообщение15.06.2017, 20:25 
Аватара пользователя


22/06/12
647
Someone в сообщении #1225816 писал(а):
Дык, неинвариантность и означает, что вместо формулы (2) получается (5). А польза этого предупреждения состоит в том, чтобы помнить его и понимать, когда можно пользоваться формулой (2), а когда нужно использовать более громоздкую формулу (5).

Угу. такой ответ меня полностью бы даже удовлетворил, за исключением одной детали, которая, скорее, относится к методу рассказывания этого всего хозяйства. Логичным кажется сначала получить (5), а (2) указывать в виде частного случая. Или к значку дифференциала дописывать переменную, по которой дифференциал берётся, чтобы аналогия с правилом Лейбница стала ещё более тесной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Второй дифференциал всё-таки инвариантный?
Сообщение15.06.2017, 20:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14493
Новомосковск
StaticZero в сообщении #1225819 писал(а):
Логичным кажется сначала получить (5), а (2) указывать в виде частного случая.
Нет, не логичнее. Поверьте преподавателю с более чем сорокалетним стажем. Как раз очень естественно определить производные и дифференциалы сначала по независимой переменной, а потом уже разбираться с композициями функций и их производными и дифференциалами. При этом никаких новых определений уже не требуется, и формула (5) вытекает из формулы (2) и свойств этих самых композиций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Второй дифференциал всё-таки инвариантный?
Сообщение15.06.2017, 20:53 
Аватара пользователя


22/06/12
647
Someone в сообщении #1225821 писал(а):
Нет, не логичнее. Поверьте преподавателю с более чем сорокалетним стажем

Спорить не буду, вам, очевидно, виднее, да и в общем, согласен. Самому бы с этого начали объяснять — нифига бы не понял.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group