2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Тензорный закон преобразования
Сообщение11.06.2017, 20:50 


22/11/16
118
Тензор $T$ задан в системе координат ${x}^{i}$ координатами $ {T}_{111}=1, {T}_{112}=2, {T}_{121}=-1, {T}_{122}=2, {T}_{211}=1, {T}_{212}=-1$, ${T}_{221}=-2, {T}_{222}=3$.

Используя тензорный закон преобразования, преобразовать эти числа к системе координата {$ {x}^{i'}={C}_{i}^{i'}{x}^{i}$},
где $C=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
\sqrt{2} &  -\sqrt{2} \\
\sqrt{2} &  \sqrt{2}
\end{bmatrix}$.

Решение:
1) Тензорный закон преобразования:
${T}_{{i'}_{1}...{i'}_{p}}^{{j'}_{1}...{j'}_{q}}={C}_{{i'}_{1}}^{{i}_{1}}{C}_{{i'}_{2}}^{{i}_{2}}...{C}_{{i'}_{p}}^{{i}_{p}}{C}_{{j}_{1}}^{{j'}_{1}}{C}_{{j}_{2}}^{{j'}_{2}}...{C}_{{j}_{q}}^{{j'}_{q}}{T}_{{i}_{1}...{i}_{p}}^{{j}_{1}...{j}_{q}}$.
2) $C = {C}_{i}^{i'}$, тогда ${C}^{-1}={C}_{i'}^{i}$
то есть ${C}_{i'}^{i}={C}^{-1}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
\sqrt{2} &  \sqrt{2} \\
-\sqrt{2} &  \sqrt{2}
\end{bmatrix}$.
3) А вот как делать дальше я не совсем понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензорный закон преобразования
Сообщение12.06.2017, 11:34 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Проблема в том, что Вы не понимаете смысла правой части закона преобразования? не знаете, что куда подставлять? Или, скорее, в том, что всё это очень громоздко?
Чему равно $C^1_{2'}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензорный закон преобразования
Сообщение12.06.2017, 12:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Men007 в сообщении #1224399 писал(а):
1) Тензорный закон преобразования:
${T}_{{i'}_{1}...{i'}_{p}}^{{j'}_{1}...{j'}_{q}}={C}_{{i'}_{1}}^{{i}_{1}}{C}_{{i'}_{2}}^{{i}_{2}}...{C}_{{i'}_{p}}^{{i}_{p}}{C}_{{j}_{1}}^{{j'}_{1}}{C}_{{j}_{2}}^{{j'}_{2}}...{C}_{{j}_{q}}^{{j'}_{q}}{T}_{{i}_{1}...{i}_{p}}^{{j}_{1}...{j}_{q}}$.

Для начала, перепишите эту формулу для вашего тензора $T_{i_1 i_2 i_3}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензорный закон преобразования
Сообщение12.06.2017, 14:22 


22/11/16
118
Munin
Я так понимаю, что в моем случае тензорный закон преобразования имеет вид:
${T}_{{i'}_{1}...{i'}_{3}}={C}_{{i'}_{1}}^{{i}_{1}}{C}_{{i'}_{2}}^{{i}_{2}}{C}_{{i'}_{3}}^{{i}_{3}}{T}_{{i}_{1}...{i}_{3}}$.
Однако, что из себя представляют ${C}_{{i'}_{1}}^{{i}_{1}}{C}_{{i'}_{2}}^{{i}_{2}}{C}_{{i'}_{3}}^{{i}_{3}}$ я не могу понять. Это элементы матрицы ${C}^{-1}$? Но как тогда понять где какой, ведь в формуле верхний и нижний индексы отличаются лишь на штрих (то есть я не могу определить расположение элемента в матрице)? Или может быть это сами матрицы?

-- 12.06.2017, 16:10 --

svv,
Я не могу понять, что из себя представляют ${C}_{{i'}_{1}}^{{i}_{1}}{C}_{{i'}_{2}}^{{i}_{2}}{C}_{{i'}_{3}}^{{i}_{3}}$. Это элементы матрицы ${C}^{-1}$? Но как тогда понять где какой, ведь в формуле верхний и нижний индексы отличаются лишь на штрих (то есть я не могу определить расположение элемента в матрице)? Или может быть это сами матрицы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензорный закон преобразования
Сообщение12.06.2017, 15:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Men007 в сообщении #1224610 писал(а):
Я так понимаю, что в моем случае тензорный закон преобразования имеет вид:
${T}_{{i'}_{1}...{i'}_{3}}={C}_{{i'}_{1}}^{{i}_{1}}{C}_{{i'}_{2}}^{{i}_{2}}{C}_{{i'}_{3}}^{{i}_{3}}{T}_{{i}_{1}...{i}_{3}}$.

Это правильно. Только многоточие не нужно :-) Ведь у вас всего-то три индекса. Их даже часто обозначают попроще:
    $T_{i'j'k'}=C_{i'}^{i}C_{j'}^{j}C_{k'}^{k}T_{ijk}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензорный закон преобразования
Сообщение12.06.2017, 16:28 


22/11/16
118
Munin,
Это понятно. Но вот как дальше с этой формулой работать?
Что из себя представляют ${C}_{{i'}}^{{i}}{C}_{{j'}}^{{j}}{C}_{{k'}}^{{k}}$. Это элементы матрицы ${C}^{-1}$? Но как тогда понять где какой, ведь в формуле верхний и нижний индексы отличаются лишь на штрих (то есть я не могу определить расположение элемента в матрице)? Или может быть это сами матрицы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензорный закон преобразования
Сообщение12.06.2017, 16:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Здесь бывают разные соглашения, и вам нужно смотреть на ваш конкретный учебник / методичку / лекции / задачник.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензорный закон преобразования
Сообщение12.06.2017, 20:21 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Men007 в сообщении #1224655 писал(а):
Что из себя представляют ${C}_{{i'}}^{{i}}{C}_{{j'}}^{{j}}{C}_{{k'}}^{{k}}$.
Ну, во-первых, давайте посмотрим, сколько у этой величины компонент. У неё $2^6 = 64$ компонент (индекс принимает два значения, всего их тут 6). Фактически эти компоненты образуют шестимерную «матрицу», но эту самую штуку ${C}_{{i'}}^{{i}}{C}_{{j'}}^{{j}}{C}_{{k'}}^{{k}}$ и не нужно мыслить как-то отдельно — она сворачивается с $T_{ijk}$, и $C_{i'}^{i}C_{j'}^{j}C_{k'}^{k}T_{ijk}$ — это уже только $2^3 = 8$ компонент (результирующего тензора, собственно). Это обозримо, их можно каждую выписать.

Насчёт смысла этих штук: вспомните как преобразуются от базиса к базису векторы, ковекторы, линейные операторы, билинейные формы. Перепишите всё в этих обозначениях. Вы увидите, что там уже будут случаи, где по два раза входят компоненты матрицы перехода $C$, и что в обычном виде формул это никак не упрощается. Это просто «применение» матрицы перехода к каждой компоненте тензора единственно верным способом — и чтобы свёртка была корректной, и чтобы вариантность индексов у новых координат тензора была такой же как у старых. Общий вид формулы это может маскировать, но тут уж ничего не поделаешь — более просто не запишешь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензорный закон преобразования
Сообщение12.06.2017, 20:43 


22/11/16
118
arseniiv,
Как я вас понял, эти символы ${C}_{{i'}}^{{i}}{C}_{{j'}}^{{j}}{C}_{{k'}}^{{k}}$ представляют собой матрицу перехода, просто она расписана в более удобной форме (в форме, которая показывает «применение» матрицы перехода к каждой компоненте тензора единственно верным способом). Следовательно, для моей задачи решение примет вид:
$ {T}_{1'1'1'}={C}^{-1}{T}_{111}$ $=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
\sqrt{2} &  \sqrt{2} \\
-\sqrt{2} &  \sqrt{2}
\end{bmatrix} 1$ $= \begin{bmatrix}
\sqrt{2}/2 &  \sqrt{2}/2 \\
-\sqrt{2}/2 &  \sqrt{2}/2
\end{bmatrix}$.

$ {T}_{1'1'2'}={C}^{-1}{T}_{112}$ $=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
\sqrt{2} &  \sqrt{2} \\
-\sqrt{2} &  \sqrt{2}
\end{bmatrix} 2$ $= \begin{bmatrix}
\sqrt{2} &  \sqrt{2} \\
-\sqrt{2} &  \sqrt{2}
\end{bmatrix}$ .
и т. д. ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензорный закон преобразования
Сообщение12.06.2017, 20:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ужос.

Если у вас один вектор, и вы применяете к нему матрицу перехода, то можно ли считать по очереди переход первой координаты вектора в первую координату нового вектора, второй - во вторую, и так далее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензорный закон преобразования
Сообщение12.06.2017, 21:12 


22/11/16
118
Munin,
Munin в сообщении #1224748 писал(а):
можно ли считать по очереди переход первой координаты вектора в первую координату нового вектора, второй - во вторую, и так далее?
Нельзя.

В таком случае, я опять не понимаю, что такое ${C}_{{i'}}^{{i}}{C}_{{j'}}^{{j}}{C}_{{k'}}^{{k}}$. Откуда это брать и как использовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензорный закон преобразования
Сообщение12.06.2017, 21:21 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Men007
Давайте я вам компоненту $T_{1'1'1'}$ распишу: $$\begin{align} 
T_{1'1'1'} &= \sum_{i,j,k = 1}^2 C_{1'}^i C_{1'}^j C_{1'}^k T_{ijk} = \\ 
&= C_{1'}^1 C_{1'}^1 C_{1'}^1 T_{111} + C_{1'}^1 C_{1'}^1 C_{1'}^2 T_{112} + \\ 
&+ C_{1'}^1 C_{1'}^2 C_{1'}^1 T_{121} + C_{1'}^1 C_{1'}^2 C_{1'}^2 T_{122} + \\ 
&+ C_{1'}^2 C_{1'}^1 C_{1'}^1 T_{211} + C_{1'}^2 C_{1'}^1 C_{1'}^2 T_{212} + \\ 
&+ C_{1'}^2 C_{1'}^2 C_{1'}^1 T_{221} + C_{1'}^2 C_{1'}^2 C_{1'}^2 T_{222}.
\end{align}$$
Если вы хотите «умножать» шестимерную матрицу на трёхмерную — флаг вам в руки, но никто это так не представляет, потому что у тензоров высших валентностей слишком много вариантов таких умножений (билинейных операций, совместимых с умножением скаляров) — не то что у векторов и линейных операторов (у последних уже два: обычное $A^i{}_jB^j{}_k$ (плюс то же в обратном порядке $A^i{}_jB^k{}_i$) и «тензорное» $A^i{}_jB^k{}_\ell$ (плюс во всевозможных других порядках аргументов одинаковой вариантности, тут их всего $2!2! = 4$).

-- Пн июн 12, 2017 23:28:37 --

Вообще тензоры красны, конечно, не законом преобразования, а инвариантным определением, которое его не включает, но если его вам не давали, то, видимо, давать его и не стоит. Хотя можете посмотреть его у Кострикина («Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра», глава «Тензоры»; инвариантных определений не одно, но все они (разумеется) эквивалентны).

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензорный закон преобразования
Сообщение12.06.2017, 21:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Men007 в сообщении #1224752 писал(а):
В таком случае, я опять не понимаю, что такое ${C}_{{i'}}^{{i}}{C}_{{j'}}^{{j}}{C}_{{k'}}^{{k}}$. Откуда это брать и как использовать.

Это тензорное произведение трёх матриц перехода.

Вообще, вам лучше не ломать голову над сущностью этого дикого предмета. Никакой роли он не играет. Вам стоило бы мыслить скорее в таком ключе:
    $T_{i'j'k'}=C_{i'}^{i}C_{j'}^{j}C_{k'}^{k}T_{ijk}=C_{i'}^{i}(C_{j'}^{j}(C_{k'}^{k}T_{ijk})),$
и воспринимать $C_{k'}^{k}T_{ijk}$ как новый тензор с тремя нижними индексами: $T_{ijk'},$ и так далее. Каждая матрица действует на тензор, на один из его индексов, и переводит к новой системе координат. Остальные индексы она не трогает вообще (вот тут как раз сработает ваша идея, что $T_{11k'}=C_{k'}^{k}T_{11k},$ и так далее). Когда все матрицы переведут к новой системе координат все индексы, дело будет сделано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензорный закон преобразования
Сообщение12.06.2017, 21:50 


22/11/16
118
arseniiv
Большое спасибо, теперь начинаю что-то понимать.

Для компоненты $T_{1'1'2'}$ имеем:
$$\begin{align} 
T_{1'1'2'} &= \sum_{i,j = 1,k = 2}^2 C_{1'}^i C_{1'}^j C_{2'}^k T_{ijk} = \\ 
&= C_{1'}^1 C_{1'}^1 C_{2'}^1 T_{111} + C_{1'}^1 C_{1'}^1 C_{2'}^2 T_{112} + \\ 
&+ C_{1'}^1 C_{1'}^2 C_{2'}^1 T_{121} + C_{1'}^1 C_{1'}^2 C_{2'}^2 T_{122} + \\ 
&+ C_{1'}^2 C_{1'}^1 C_{2'}^1 T_{211} + C_{1'}^2 C_{1'}^1 C_{2'}^2 T_{212} + \\ 
&+ C_{1'}^2 C_{1'}^2 C_{2'}^1 T_{221} + C_{1'}^2 C_{1'}^2 C_{2'}^2 T_{222}.
\end{align}$$

, где $C_{1'}^i C_{1'}^j C_{2'}^k$ - это элементы матрицы ${C}^{-1}$?

-- 12.06.2017, 22:58 --

(Нижний индекс - строка, верхний - столбец)

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензорный закон преобразования
Сообщение12.06.2017, 22:02 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Munin в сообщении #1224773 писал(а):
и воспринимать $C_{k'}^{k}T_{ijk}$ как новый тензор с тремя нижними индексами: $T_{ijk'},$ и так далее.
Это как раз математически очень хитрая штука должна быть: координаты частично в одном базисе и частично в другом. Смысл её понять может быть ещё сложнее… (Хотя не, что это я — если считать это просто наборами координат, то всё просто. Если считать это [ещё и] абстрактной индексной записью, представляющей тензор — вот тогда всё в силе.)

Men007 в сообщении #1224774 писал(а):
где $C_{1'}^i C_{1'}^j C_{2'}^k$ - это элементы матрицы ${C}^{-1}$
Вообще я не следил пока аккуратно, как у вас определяется матрица перехода, но в любом случае это либо элементы $C$, либо элементы $C^{-1}$ в зависимости от того, где стоят штрихованные индексы, а где простые. Вывести из первых принципов можно, применив преобразование координат к вектору: $v^{i'} = C^{i'}_i v^i$. Если в матричной записи матрица перехода здесь используется необращённая, значит, $C^{i}_{i'}$ — компоненты обращённой.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group