Уравнения касательных плоскостей к эллипсоиду

[Men007]

Найти уравнения касательных плоскостей к эллипсоиду $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}+\frac{{z}^{2}}{{c}^{2}}=1$, отсекающих на координатных осях равные по величине отрезки.
Решение:
1) Уравнение плоскостей, которые отсекают на координатных осях равные по величине отрезки:$x+y+z=d$ , где $d$- длина отрезка, отсекаемого на плоскостях.
2) Градиент в точке касания плоскостей имеет равные координаты:$\frac{2x}{{a}^{2}}=\frac{2y}{{b}^{2}}=\frac{2z}{{c}^{2}}$.
3) Просто подставил эти координаты вместо $d$:
Уравнение плоскостей имеет вид: $x+y+z-\frac{2x}{{a}^{2}}-\frac{2y}{{b}^{2}}-\frac{2z}{{c}^{2}}$.
Думаю, что решил не правильно. Но знаю точно, что нужно каким-то образом использовать частные производные в решении.

[Brukvalub]

Men007 в сообщении #1223668 писал(а):

Уравнение плоскостей имеет вид: $x+y+z-\frac{2x}{{a}^{2}}-\frac{2y}{{b}^{2}}-\frac{2z}{{c}^{2}}$.

Это даже не уравнение.

[Men007]

Brukvalub
да, там забыл к нулю приравнять:
$x+y+z-\frac{2x}{{a}^{2}}-\frac{2y}{{b}^{2}}-\frac{2z}{{c}^{2}}=0$

[Brukvalub]

Men007, вас не смущает, что эта "касательная плоскость" проходит через центр эллипсоида?

[Men007]

Brukvalub, смущает. Я написал, что решение неправильное, без понятия, как решать это задание.

[SomePupil]

Men007 в сообщении #1223668 писал(а):

Но знаю точно, что нужно каким-то образом использовать частные производные в решении.

Точно? А каким образом?

Men007 в сообщении #1223668 писал(а):

1) Уравнение плоскостей, которые отсекают на координатных осях равные по величине отрезки:$x+y+z=d$ , где $d$- длина отрезка, отсекаемого на плоскостях.

К великому сожалению, это уравнение охватывает не все случаи "равного отсечения".

На самом деле, можно обойтись и без частных производных $-$ методами аналитической геометрии, побить задачу чистым энтузиазмом.

[Brukvalub]

Как решать:
1.Вы неверно написали уравнение плоскости, отсекающей на осях равные отрезки, разберитесь.
2. В учебниках аналитической геометрии есть готовое уравнение касательной плоскости к поверхности второго порядка, но его нетрудно вывести и самому - разберитесь.
3. Совместите полученную в п.1 и 2. информацию, и все получится.

[provincialka]

Men007 в сообщении #1223668 писал(а):

2) Градиент в точке касания плоскостей имеет равные координаты:$\frac{2x}{{a}^{2}}=\frac{2y}{{b}^{2}}=\frac{2z}{{c}^{2}}$.

А вот это -- уравнения! И их можно даже решить.. Совместно с уравнением самого эллипсоида.
Вот только к $d$ все это не имеет отношения

[Men007]

Brukvalub
Из общего уравнения касательной плоскости к поверхности второго порядка я получил уравнение касательной плоскости к эллипсоиду:
$\frac{x{x}_{0}}{{a}^{2}}+\frac{y{y}_{0}}{{b}^{2}}+\frac{z{z}_{0}}{{c}^{2}}=1$.
Но вот как дальше с ним работать я не совсем понял. Нужно просто $a$, $b$ и $c$ приравнять, то есть уравнение касательной плоскости, отсекающей равные отрезки на координатных осях, будет иметь вид: ${x{x}_{0}}+y{y}_{0}+z{z}_{0}={a}^{2}}$?

[redicka]

Men007, вам же дали дельный совет-почитайте книжки!

[Brukvalub]

Из равенства длин отсекаемых отрезков следует требование $|\frac{{x}_{0}}{{a}^{2}}|=|\frac{{y}_{0}}{{b}^{2}}|=|\frac{{z}_{0}}{{c}^{2}}|$. Еще есть уравнение эллипсоида, на котором лежит точка касания. Итого: три уравнения и три неизвестных координаты точки касания. Доделывайте.

[Men007]

Brukvalub
В итоге окончательно я получил такое решение:
Уравнения касательных плоскостей к поверхности эллипсоида, отсекающих на координатных осях равные отрезки имеют вид:
$x+y+z\pm\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}=0$.

[Brukvalub]

Я не решал задачу до конца, поэтому без решения проверить ваш ответ не могу, но, он, как минимум, противоречит законам симметрии: должно быть не менее 8 нужных плоскостей.

[Men007]

Brukvalub,

Уравнение касательной плоскости к эллипсоиду представим в виде уравнения плоскости в отрезках:
$\frac{x}{{a}^{2}/{x}_{0}}+\frac{y}{{b}^{2}/{y}_{0}}+\frac{z}{{c}^{2}/{z}_{0}}=1$.
Поскольку согласно условию задачи отрезки, отсекаемые плоскостями на координатных осях, равны то:
$\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}}=\frac{{b}^{2}}{{y}_{0}}=\frac{{c}^{2}}{{z}_{0}}$.
Обозначив каждое из этих отношений через $k$ получим:
${x}_{0}=\frac{{a}^{2}}{k}$, ${y}_{0}=\frac{{b}^{2}}{k}$, ${z}_{0}=\frac{{c}^{2}}{k}$.
Так как координаты удовлетворяют уравнению поверхности, то:
$\frac{{a}^{2}}{k}+\frac{{b}^{2}}{k}+\frac{{c}^{2}}{k}=1, откуда k=\pm\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}$.
Тогда:
${x}_{0}=\frac{{a}^{2}}{\pm\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}}$, ${y}_{0}=\frac{{b}^{2}}{\pm\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}}$ , ${z}_{0}=\frac{{c}^{2}}{\pm\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}}$.
Таким образом, подставляя эти значения в уравнение касательной плоскости:
$x+y+z\pm\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}=0$.

[provincialka]

Men007, замечание Brukvalub не в этом. Эти плоскости у вас найдены верно, но они -- не все!
Потому что "длина отрезка" и его координата не совпадают. Какова, например, длина отрезка между $0$ и $-2$?