2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Интересное неравенство
Сообщение28.06.2017, 18:13 


03/03/12
1380
arqady, спасибо за информацию. Правда, я по английски ни бе, ни ме.
Ваш результат для $n>3$, если он верен, то мне очень интересен, т.к. он не опровергает моих гипотетических рассуждений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересное неравенство
Сообщение01.07.2017, 11:44 


03/03/12
1380
В связи с результатом arqady у меня возник вопрос, который я сформулирую в виде задачи.

Задача.

Имеется две формулировки:
1). Результат arqady (как я его поняла).
Для доказательства неравенства при любых натуральных $1<n<11$ достаточно доказать его для $x_1=x_2=...=x_{n-1}$, $x_n=n-(n-1)x_1$.
2). Мой гипотетический результат, полученный путём (см. оффтоп)

(Оффтоп)

полученный путём деления на не пересекающиеся классы с остатком, равным единице... Нюансы опускаю, т.к. данная гипотеза частично (пока; до обнаружения ошибки, видимо) отправлена в Пургаторий. Это означает её абсурдность. Но мы люди простые, и для достижения (даже приближения к ) цели все средства хороши.

Для доказательства неравенства при произвольных натуральных $0<n<11$ достаточно доказать его при $x_1=x_2=...=x_n$.

Вопрос: при каких $n$ обе формулировки эквивалентны? (Или так: при каких $n$ можно обойтись без ссылки на английский источник?)

Мой ответ, следующий из логических, а не гипотетических рассуждений, я могу дать в явном виде только для некоторых $n$. Но это не полный ответ на поставленный вопрос. Приветствуется как полное, так и частичное решение проблемы.

Для положительных $(a_1,...,a_n)$ с условием $a_1+a_2+...+a_n=n$ при каких $(n)$
неравенство

$$\frac{1}{a_1^2}+...+\frac{1}{a_n^2}\ge a_1^2+...+a_n^2$$

достаточно доказать при $x_1=x_2=...=x_n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересное неравенство
Сообщение03.02.2023, 22:20 
Аватара пользователя


26/02/14
497
so dna
arqady в сообщении #1228057 писал(а):
Для положительных $a$, $b$ и $c$, для которых $(a+b+c)(ab+ac+bc)^{18}=3^{19}$ докажите, что
$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2$$

Максимальное $k$ для которого при $(a+b+c)(ab+ac+bc)^{k}=3^{k+1}$ верно $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2$ для положительных $a$, $b$ и $c$:

$k=\frac{2x^5-x^4+5x^3+5x^2+5x+2}{2x^4-10x^2-6x-4}\approx 18.4592476563...$

здесь $x\approx 18.5391840196...$ - корень уравнения

$x(x^2+2)(2x^2+1)\ln{\frac{2x^2+1}{x^2(x^2+2)}}+2(2x+1)(x^4-x^3+3x^2+x+2)\ln{(2x+1)}+4(x+2)(x^3-2x^2-x-1)\ln{(x+2)} = 2(x-1)(2x^4+3x^3+8x^2+3x+2)\ln{3}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group