Проективная двойственность

[function]

Цитата из <<Линейной алгебры>> Кострикина, Манина:

Цитата:

Пересечению проективных подпространств отвечает проективная оболочка двойственных к ним, а проективной оболочке ---
пересечение. В частности, отношение инцидентности двух подпространств (т. е. включение одного в другое) переходит в отношение инцидентности.

Верно ли, что первое предложение следует из такого соотношения:
$\mathrm{Ann}\left(P(U_1)\cap P(U_2) \right)=\mathrm{Ann}\left(P(U_1) \right)+\mathrm{Ann}\left(P(U_2) \right)$?
Непонятен смысл второго предложения, и как отсюда следует принцип проективной двойственности?

[пианист]

И первое, и второе очевидно, глядя на формулы.
При проективной двойственности инцидентность, пересечение, размерность, оболочка преобразуются в соответствии с перечисленными в цитированном параграфе правилами, что позволяет имея теорему, записанную в этих терминах, бесплатно получить новую, двойственную.

[function]

пианист в сообщении #1222963 писал(а):

При проективной двойственности инцидентность, пересечение, размерность, оболочка преобразуются в соответствии с перечисленными в цитированном параграфе правилами, что позволяет имея теорему, записанную в этих терминах, бесплатно получить новую, двойственную.

Я знаю, что такое <<проективная двойственность>>, но хочу разобраться, откуда она следует формально.

пианист в сообщении #1222963 писал(а):

И первое, и второе очевидно, глядя на формулы.

На какие формулы?

[пианист]

Дык вот из ровно этого и следует :о
Как задается подпространство и как осуществляется проективная двойственность. Собс-но, при хорошом воображении можно и на формулы не глядеть :)

[function]

Кажется, всё прояснилось! Получается, что, действительно, эти два вспомогательных предложения в точности следуют из свойств аннулятора:
0. $\dim\mathrm{Ann}U=n-\dim U$.
1. $\mathrm{Ann}P(U_1)\cap \mathrm{Ann} P(U_2) =\mathrm{Ann}\left(P(U_1)+ P(U_2) \right)$.
2. $\mathrm{Ann}\left(U_1\cap U_2\right)=\mathrm{Ann}U_1+\mathrm{Ann}U_2$.
3. Если $U_2\subset U_1$, то $\mathrm{Ann}U_1\subset\mathrm{Ann}U_2$.

В силу свойства 0 $k$-мерные объекты заменяются на $n-k$-мерные, свойство 3 обращает инцидентность, а
о свойствах 1-2 говорилось в первом предложении. Свойство 3 проясняет смысл второго предложения.

пианист в сообщении #1223346 писал(а):

Собс-но, при хорошом воображении можно и на формулы не глядеть :)

Воображение может загнать в ловушку при первом знакомстве с каким-нибудь математическим объектом (с тем же $\Bbbk P^n$).

[пианист]

Проективная двойственность на самом деле очень простая вещь.
Берем нечто, множество, элементы которого мы считаем точками, $x$-ы, рассматриваем функции на этом нечто, $x \mapsto f(x)$.
Идея: а давайте сделаем наоборот, пусть теперь $f$-ы будут у нас точками, а $x$-ы функциями на этом новом объекте: $f \mapsto x(f)$.
Вот, собс-но, и все, остальное естественным образом получается ;).

[function]

Это мне было понятно с самого начала. А то, что получалось естественным образом

Цитата:

осознавалось, но не фиксировалось.