Литература по общим методам доказательств

[k0shinus]

Существует ли книга на русском или английском языках, где разобраны часто используемые в доказательствах методы, например, индукция (математическая, трансфинитная, по дереву и т.п.), построение отображений между множествами (с проверкой корректности, проверкой на сюръективность, инъективность) и прочие (чем больше тем лучше). Желательно, чтобы после были примеры, на которых можно было потренироваться. В идеале хотелось бы в свободном доступе в сети.

[Anton_Peplov]

Я тоже в свое время спросил:

Anton_Peplov в сообщении #1082514 писал(а):

Кстати, давно хочу найти книгу, в которой перечислены популярные и/или интересные приемы математических доказательств. Что-нибудь вроде:
- чтобы доказать единственность объекта со свойством $\varphi$, надо показать, что два любых объекта со свойством $\varphi$ совпадают;
- чтобы доказать, что множество бесконечно, нужно предположить, что в нем $N$ элементов, и построить $N+1$-й элемент (модификация - метод Кантора: чтобы доказать, что множество не счетно, нужно предположить, что оно счетно с некоторой нумерацией, и построить элемент, не имеющий номера);
- чтобы доказать, что пересечение всех множеств из некоторой системы множеств $\Sigma$ пусто, надо доказать, что для любого $a \in A \in \Sigma$ найдется $B \in \Sigma$ такое, что $a \notin B$ (так доказывается интуитивно совсем не очевидный факт, что пересечение всех множеств вида $[a, \infty)$ пусто).
Ну и так далее, с различной степенью детализации.
Никто такой книги не встречал?

Единственная рекомендация, которую мне дали:

Xaositect в сообщении #1082545 писал(а):

Есть книга D. J. Welleman "How to Prove It: a structured approach". Это не совсем то, что просит Anton_Peplov, но достаточно близко.

[kp9r4d]

Есть ещё статья Терренса Тао Problem solving strategies (in real analysis), мне тоже интересно подобное чтиво вообще, так что тема хорошая, одобряю.

[grizzly]

k0shinus
Вы знакомы уже с книгой Пойа? В любом случае ссылка на эту книгу в данной теме не повредит.

[Евгений Машеров]

Anton_Peplov в сообщении #1222170 писал(а):

Единственная рекомендация, которую мне дали:
Xaositect в сообщении #1082545

писал(а):
Есть книга D. J. Welleman "How to Prove It: a structured approach". Это не совсем то, что просит Anton_Peplov, но достаточно близко.

Только он через V, Velleman.

[irod]

У меня на винте валяется книга Купиллари "Математика - это просто! Доказательства", но сам я ее нормально не разбирал.
Конкретно по мат.индукции есть книги Шень "Математическая индукция" и Соминский "Метод математической индукции".

[Soul Friend]

а к чему относятся математические тождества, к индукции? И можно ли строить доказательства используя только тождества?

[Someone]

irod в сообщении #1222491 писал(а):

математические тождества

Что такое "математические тождества"? Вы имеете в виду то, что подразумевается в школьных задачах "доказать тождество"?

Soul Friend в сообщении #1222503 писал(а):

к индукции?

Не замечал в "доказательствах по индукции" и "определениях по индукции" каких-либо тождеств.

Soul Friend в сообщении #1222503 писал(а):

И можно ли строить доказательства используя только тождества?

Вряд ли. Обычно используются аксиомы, которые могут включать какие-то "тождества" (например, аксиома коммутативности умножения: $\forall a\forall b(ab=ba)$), а могут и не включать, а также правила вывода.

[Anton_Peplov]

Soul Friend в сообщении #1222503 писал(а):

а к чему относятся математические тождества, к индукции? И можно ли строить доказательства используя только тождества?

А можно ли завести отдельную тему для своего вопроса (который для начала надо бы поставить по-человечески) и не заниматься захватом этой, хорошей и полезной?

[Lia]

Soul Friend
Замечание за оффтоп.

[sqribner48]

Уважаемый Anton_Peplov
Есть несколько интересных работ Ю. В. Матиясевича, в которых он предлагает оригинальные методы доказательства в дискретной математике (в частности к теории графов).
Вот список этих работ:

Цитата:

1.Ю. В. Матиясевич.. Одна схема доказательств в дискретной математике. Зап. научн. сем. ЛОМИ, 40 (1974), 94–100
2. Ю. В. Матиясевич. О метаматематическом подходе к доказательству теорем дискретной математики. Зап. научн. сем. ЛОМИ, 49 (1975), 31–50
3. Ю. В. Матиясевич. Применение методов теории логического вывода в теории графов. Матем. заметки, 12:6 (1972), 781–790

Все работы легко доступны на сайте Math-Net.ru без регистрации.
Мне особенно понравилась его третья статья по использованию методов логического вывода в теории графов.
Чего стоит, например, это кусочек текста

Цитата:

1.Определения, используемые при построении мате¬матических теорий, имеют различный характер. Например, свойство P может быть определено с помощью ранее определенных свойства Q и отношения R по такой схеме:
Объект X обладает свойством Р
Тогда и только тогда, когда для любого .......................... (1)
Объекта Y, обладающего свойством Q,
Объекты X и Y находятся в отношении R.

Мне кажется, что это очень близко к предлагаемой Вами схеме

Anton_Peplov в сообщении #1222170 писал(а):

Что-нибудь вроде:
- чтобы доказать единственность объекта со свойством $\varphi$, надо показать, что два любых объекта со свойством $\varphi$ совпадают;

[Soul Friend]

попытаюсь реабилитироваться в этой теме, https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_proof, в разделе источники ( Sources) есть список литературы.
А также здесь https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_induction смотрите: Notes.
Поиск по гуглу: induction proofs, mathematical induction.