Матричные алгебры Ли

[Gargantua]

Здравствуйте. Пытаюсь разобраться с алгебрами Ли по учебнику Дубровина, но не могу понять что такое матричная алгебра Ли. Цитирую учебник:

Цитата:

С каждой рассмотренной выше группой линейных преобразований связана матричная алгебра Ли. Пространством этой алгберы является касательное пространство в единице группы; коммутатор - обычный коммутатор матриц.

И далее приводится пример группы $SL(n,R)$, где касательное пространство в единице - это матрицы с нулевым следом.
Что есть касательное пространство в единице группы, и как его найти?

[Metford]

Gargantua в сообщении #1222037 писал(а):

И далее приводится пример группы $SL(n,R)$, где касательное пространство в единице - это матрицы с нулевым следом.

Есть формула Якоби, согласно которой для любой квадратной матрицы $X$

$$\det e^X=e^{\operatorname{Sp} X}.$$

Матрицы группы $SL(n,\mathbb{R})$ обладают равным единице определителем и допускают экспоненциальное представление - отсюда следует, что $\operatorname{Sp}X=0$. В свою очередь экспоненту, представляющую элемент группы, можно разложить в ряд. Нулевое приближение - просто единичная матрица, в первом приближении выделяются генераторы группы, базис алгебры Ли.

[Slav-27]

Gargantua в сообщении #1222037 писал(а):

Что есть касательное пространство в единице группы, и как его найти?

А что такое касательное пространство к многообразию в точке знаете? Это оно.

[Gargantua]

Учебник Дубровина - первое, что я читаю по данной теме, и в нем понятие многообразия разбирается в последующих разделах. Неужели без него данную тему не осилить? Существует ли определение касательного пространства без использования понятия многообразия, которое помогло бы в вышеизложенном вопросе?

[Metford]

Gargantua в сообщении #1222058 писал(а):

Учебник Дубровина - первое, что я читаю по данной теме

Не лучшее начало...
Посмотрите Новикова и Тайманова "Современные геометрические структуры и поля". Там подробнее и понятнее написано.

[Hasek]

Давайте я попробую "накидать" чуть-чуть информации для формирования интуитивного представления.

Группа Ли -- она, как известно, одновременно и группа, и многообразие (некоторый геометрический объект, "поверхность", если вы термин многообразие ещё не знаете). Вот касательное пространство к нему в какой-то точке -- это пространство всех касательных векторов в этой точке (что такое "касательный", думаю, понятно интуитивно). Представьте, например, сферу, покоящуюся на столе. Тогда касательное пространство к ней в южном полюсе как раз плоскость стола.

Как поняли, что касательное пространство к $SL(n,\mathbb{R})$ в единице есть матрицы с нулевым следом? Очень просто -- продифференцировали условие, задающее группу. Пусть $g \in SL(n,\mathbb{R})$, тогда $d(\det g) = \operatorname{tr} (dg) = 0$. Почему именно дифференцируем? Ну, потому что касательное пространство в точке на самом деле пространство дифференцирований в этой точке, и вот тут как раз от наглядных примеров лучше перейти к учебнику.