Индукция по вещественному отрезку [0;1]

[fractalon]

Рассмотрим некоторый предикат $P:[0;1] \to \left\lbrace {0,1} \right\rbrace$ на отрезке вещественных чисел и некоторую функцию $c: [0;1] \to {\mathbb R}_+$ такую, что $c(x)>0$ для $x \in [0;1]$.
Пусть известно, что $P(0)=1$, $\forall x:\ P(x)=1 \Rightarrow \left( {P(y)=1\ \forall y \in [x;x+c(x)]} \right)$ и $\forall x_0 \left({ \left({\forall x \in [0;x_0):\ P(x)=1}\right) \Rightarrow P(x_0)=1 }\right)$
Можно ли исходя из этого утверждать, что $P(1)=1$?

[DeBill]

fractalon
А почему нет? Бум, как обычно, рассмотреть супремум тех $x_0$, для которых $P=1$ на полуинтервале $[0,x_0)$. Вроде, все получается....

[arseniiv]

У меня вылезла пронумерованная ординалами последовательность верхних граней множеств, про которые известно, что для них $P$, которые мы получаем, применяя те два «шага индукции» к $\{0\}$. Таким образом, если мы потребуем от $c$, чтобы

$$\begin{align*} C_1 &\equiv 0 + c(0) < 1, \\ C_2 &\equiv 0 + c(0) + c(c(0)) < 1, \\ &\cdots \\ C_n &\equiv \sum_{i=0}^n c^{\circ\,i}(0) < 1, \\ &\cdots \\ C_\omega &\equiv \lim\limits_{n\to\infty} C_n < 1, \\ C_{\omega+1} &\equiv C_\omega + c(C_\omega) < 1, \\ &\cdots \\ C_{\omega+n} &\equiv \sum_{i=0}^n c^{\circ\,i}(C_\omega) < 1, \\ &\cdots \\ C_{\omega\cdot2} &\equiv \lim\limits_{n\to\infty} C_{\omega+n} < 1, \\ &\cdots \\ C_{\omega^2} &\equiv \lim\limits_{n\to\infty} C_{\omega\cdot n} < 1, \\ &\cdots \end{align*}$$

то мы не дойдём до единицы. Но можем ли мы всё это потребовать от бедной маленькой $c$?

[Mikhail_K]

arseniiv в сообщении #1221803 писал(а):

то мы не дойдём до единицы.

Вы в чём-то не согласны с DeBill?
Рассмотрение супремума сразу даёт положительный ответ на вопрос.
Если не забыть про последнее свойство $P$.

[arseniiv]

Не, это просто остатки того, что мне пришло в голову. Мне теперь стало интересно, что вообще происходит с последовательностью $C$, до какого ординала может оттянуться её значение $\geqslant1$? Не соображаю.

[Padawan]

На счётном ординале исчерпаем $\mathbb R$ (если бы $c(x)$ была определена всюду на $\mathbb R$).

[mihaild]

Это же вопрос про то, какие ординалы можно вложить в отрезок? ($\omega$ не при всяком вложении будет отображаться в нужную предельную точку, но это кажется лечится)

-- 03.06.2017, 19:34 --

Ну и тут понятно: вкладываются все не более чем счётные, и только они.

[arseniiv]

Padawan в сообщении #1221810 писал(а):

На счётном ординале

У меня сегодня, видимо, день непонимания, но счётных ординалов же не один, и для первого из них $\omega$ (и некоторых после) это очевидно не так. Пусть $c(0) = \frac12$, $c(\frac12) = \frac12\frac14$, $c(\frac12+\frac12\frac14) = \frac12\frac1{4^2}$ и т. д., тогда $C_\omega = \frac23 < 1$, и аналогичное можно провернуть ещё как минимум пару раз.

Я выше неправильно определил $C_{\alpha + n}$, кстати.

$$C_{\alpha + n} = C_{\alpha + n - 1} + c(C_{\alpha + n - 1}) = \sum_{i=0}^n \binom ni c^{\circ\,i}(C_\alpha).$$

[Padawan]

На некотором счетном ординале я имел ввиду

[arseniiv]

Понятно.

[Padawan]

Любой счётный может им оказаться. Потому что в $\mathbb R$ вкладывается любой счетный ординал, как заметил выше mihaild. Вроде любое счетное линейно упорядоченное множество вкладывается в $\mathbb Q$, в "Теории множеств" Хаусдорфа читал. Да, точно, посмотрел.

[arseniiv]

Кажется, меня ещё и запутало ограничение предиката fractalon на $[0; 1]$. Всё $[0; +\infty)$ замечательно покроется, а слова DeBill я вообще сначала прочитал неправильно.

[ewert]

(Оффтоп)

А меня сперва отвратило слово супергипероморфизм "предикат" вместо "подмножество". Настолько, что даже не стал вдумываться. Только после несколькикратного перечтения стартового поста понял, что DeBill прав и всё действительно тривиально.

[mihaild]

(Оффтоп)

Кстати если не требовать второго свойства, то есть красивый контрпример.
Пусть $t_0 \in (0; 1)$ - момент, в который Ахиллес догонит черепаху. $P = \mathbb{I}_{[0; t_0)}$, $c(t) = 1$ при $t \geqslant t_0$; при $t < t_0$, $c(t)$ - время, которое необходимо Ахиллесу, чтобы преодолеть текущее расстояние между ним и черепахой.

[ewert]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1221874 писал(а):

Кстати если не требовать второго свойства, то есть красивый контрпример.

Ну чего там геркулесы. Тупо полуинтервал, начинающийся с нуля. Кстати, Вы явно имели в виду третье свойство, а не второе.