Как понять базу

[root721]

Читаю книги по мат. анализу, раздел по теории пределов. Чуствую что что-то не хватает для понимания базы.

Цитата:

База это совокупность B подмножеств $B \subset X $ если выполнены условия.
1) $ \forall B \in B (B \ne \varnothing) $

2) $ \forall B_1 \in B $ ....

Вроде бы написанное понятно, но что-то не хватает. Как понять???

[arseniiv]

На самом деле это никто не понимает. База фильтра — единственное понятие, которое придумали не человеческие, а инопланетные математики. Они передавали, что предел по фильтру (в данном случае определяемый его базой) — способ обобщить обычные пределы в точке, односторонние пределы, пределы на бесконечности, пределы в многомерных пространствах и т. п.. Люди пытались построить это обобщение сами и понять, что потребовать от своей собственной человеческой базы из того, как она в нём используется, но пока приходится пользоваться тем, что спустили с неба.

Вообще, конечно, вы забыли спросить, как набрать букву $\mathcal B$ или как набрать букву $\mathfrak B$, а то у вас определение получается неправильное.

[SomePupil]

root721, Вы знакомы со стандартной базой проколотых окрестностей?

root721 в сообщении #1221774 писал(а):

но что-то не хватает

А в математике так и делают: выявляют у вещей важные черты и дают на основе них формальные определения. Потом пользуются этими определениями в качестве рабочих. Привыкайте.

P. S. Вот пример: математик, никогда не видевший кошку, видит кошку и спрашивает: "А че это такое?", а ему отвечают: "Кошка". "Кошка?", "Ну да, кошка $-$ животное, которое обычно ходит и бегает на четырех конечностях". Потом этот математик видит, например, бегущую огромную собаку и восклицает: "Вот это кошка!"

[root721]

SomePupil в сообщении #1221785 писал(а):

root721, Вы знакомы со стандартной базой проколотых окрестностей?

Читал, там в основном все понятно.

-- 03.06.2017, 20:48 --

arseniiv в сообщении #1221779 писал(а):

База фильтра — единственное понятие

Где про это можно почитать подробнее?

[arseniiv]

Нигде — я это придумал, и это должно было быть ясно из стиля описания. Однако намёк оттуда всё ещё в силе: чтобы понять, зачем от базы требуется то и то, посмотрите места, где она используется (одно место — определение предела по базе). Зачем там первое условие (база не содержит пустого множества), зачем второе (вместе с парой множеств в базу входит и какое-то подмножество их пересечения). Посмотрите, что сломается в определении, если не требовать то или это. Посмотрите, какие базы надо взять, чтобы получить все конкретные «предел такой-то», которые вы должны были до этого узнать (если вдруг не знаете — то совершенно неудивительно, что слишком раннее обобщение ставит в тупик).

[Someone]

root721 в сообщении #1221816 писал(а):

Читал, там в основном все понятно.

А что непонятно?

root721 в сообщении #1221774 писал(а):

Читаю книги по мат. анализу, раздел по теории пределов. Чуствую что что-то не хватает для понимания базы.

Цитата:

База это совокупность B подмножеств $B \subset X $ если выполнены условия.
1) $ \forall B \in B (B \ne \varnothing) $

2) $ \forall B_1 \in B $ ....

Вроде бы написанное понятно, но что-то не хватает. Как понять???

Для начала — хотя бы написать определение полностью так, чтобы его можно было понять. В частности, чтобы одинаковые буквы были одинаковыми, а разные — разными.

[root721]

arseniiv в сообщении #1221819 писал(а):

Нигде — я это придумал, и это должно было быть ясно из стиля описания. Однако намёк оттуда всё ещё в силе: чтобы понять, зачем от базы требуется то и то, посмотрите места, где она используется (одно место — определение предела по базе). Зачем там первое условие (база не содержит пустого множества), зачем второе (вместе с парой множеств в базу входит и какое-то подмножество их пересечения). Посмотрите, что сломается в определении, если не требовать то или это. Посмотрите, какие базы надо взять, чтобы получить все конкретные «предел такой-то», которые вы должны были до этого узнать (если вдруг не знаете — то совершенно неудивительно, что слишком раннее обобщение ставит в тупик).

В книгах которые я читал, никак не сказано как это все делать что вы описали. Но судя из вашего сообщения, мне следует больше уделять внимание практике?

[Mikhail_K]

root721 в сообщении #1221826 писал(а):

В книгах которые я читал, никак не сказано как это все делать что вы описали.

А это нужно просто взять и сделать. Посмотреть в учебнике, везде где применяется определение базы, как именно там используется каждое условие в этом определении. Тогда поймёте, зачем это условие было нужно.

[root721]

Someone в сообщении #1221820 писал(а):

А что непонятно?

В определении одна окрестность проколотая, другая нет. Почему? И почему именно проколотая проколота?

[Anton_Peplov]

root721 в сообщении #1221826 писал(а):

Но судя из вашего сообщения, мне следует больше уделять внимание практике?

Вам следует полностью и аккуратно выписать определение базы. Начнем с этого. А потом будем двигаться вперед маленькими шажками, на каждом удостоверяясь, что мы понимаем, что делаем. А от скоропалительных выводов космического масштаба толку не будет.

[Someone]

root721 в сообщении #1221829 писал(а):

В определении одна окрестность проколотая, другая нет.

В каком определении? Приведите его здесь, тогда можно будет обсуждать.

[root721]

Цитата:

Вам следует полностью и аккуратно выписать определение базы.

Совокупность $\mathcal{B}$ подмножеств В $ \in $ X множества X
будем называть базой в множестве X, если выполнены два условия:
1) $ \forall B \in \mathcal{B} (B \ne \varnothing) $

2) $ \forall B_1 \in \mathcal{B} \qquad \forall B_2 \in \mathcal{B} \qquad \exists B \in \mathcal{B} \qquad (B \subset B_1 \cap B_2 ) $
Иными словами, элементы совокупности В суть непустые множества и в
пересечении любых двух из них содержится некоторый элемент из той же
совокупности.

-- 03.06.2017, 22:23 --

Someone в сообщении #1221832 писал(а):

root721 в сообщении #1221829 писал(а):

В определении одна окрестность проколотая, другая нет.

В каком определении? Приведите его здесь, тогда можно будет обсуждать.

$\lim\limits_{x \to a, x \in E} f(x) = A := \forall V_R (A)\qquad \exists \dot{U}_E (a) \qquad (f(\dot{U}_E(a)) \subset V_R(A)) $

[kp9r4d]

База фильтра - это минимальный набор данных, нужный для того, чтобы задать фильтр. А фильтр - это минимальная структура на множестве для того, чтобы говорить, что "точка куда-то стремится" строго. В частности можно даже обобщить концепт предела до следующего: пусть $(A,\mathcal{F}), (B,\mathcal{G})$ множества с фильтрами и $f: A \to B$, тогда можно строго формализовать фразу "$f(x)$ стремится по фильтру $\mathcal{G}$, когда $x$ стремится по фильтру $\mathcal{F}$".

[Someone]

Правильно (если значок "$\subset$" понимать как "$\subseteq$").

А что тут непонятно? И какая проблема с проколотыми окрестностями?

В случае базы проколотых окрестностей можно считать, что все элементы базы являются проколотыми окрестностями, но если там будет некоторое количество окрестностей, которые не являются проколотыми, то ничего не испортится.

[kp9r4d]

root721 в сообщении #1221829 писал(а):

В определении одна окрестность проколотая, другая нет. Почему? И почему именно проколотая проколота?

Хмм, а вы понимаете определение предела числовых функция на $\varepsilon,\delta$ языке и почему там требуется $0<|x-x_0|<\delta$ а не $|x-x_0|<\delta$?