2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задача Штурма-Лиувилля (усложненная)
Сообщение03.06.2017, 12:19 


22/03/17
8
\left\{\!\begin{aligned}
&  u
Далее из граничных условий получаем:
\begin{vmatrix} 1 - \alpha {e^{(y|2)} }   & 1 - \alpha e^{(-y|2)}  \\ e^{(y)}  - \beta e^{(y|2)}  & e^{(-y)}  - \beta e^{(-y|2)}  \end{vmatrix} = 0
где \mathsf{y} = \sqrt{-  \lambda  }
после преобразований получаем: e^{y} - ( \alpha + \beta )e^{y|2} + 1 = 0
решаем квадратное уравнение, для удобства обозначим z=e^{y|2}
\mathsf{z} 1 = \frac{  \alpha  +  \beta  }{ 2 } + \sqrt{\frac{  (\alpha  +  \beta)^2 }{ 4 } - 1 }
\mathsf{z} 2 = \frac{  \alpha  +  \beta  }{ 2 } - \sqrt{\frac{  (\alpha  +  \beta)^2 }{ 4 } - 1 }
далее мы получаем восемь случаев зависимости корня от \alpha и \beta :
1) \alpha + \beta > 0 = > \mathsf{e} ^{ \mathsf{y} } = \frac{  \alpha  +  \beta  }{ 2 } \pm \sqrt{\frac{  (\alpha  +  \beta)^2 }{ 4 }-1 }
\mathsf{y} = 2\ln{(-||-)}
\lambda = - 4(\ln{(-||-)}) ^{2} ,(Тут мой первый вопрос правильно ли я нашел \lambda ?)
где (-||-) = \frac{  \alpha + \beta  }{ 2 } \pm \sqrt{\frac{  (\alpha + \beta)^2 }{ 4 }-1 }
2) 0 < \alpha + \beta < 2
z1,2 = \frac{  \alpha + \beta  }{ 2 } \pm \sqrt{\frac{  (\alpha + \beta)^2 }{ 4 }-1 }
где \sqrt{\frac{  (\alpha + \beta)^2 }{ 4 }-1 } < 0 следовательно комплексный корень и дальше я уже не знаю как делать этот пример.
Подскажите как дальше двигаться, как оформлять решение с комплексными корнями где есть мнимая и действительная часть? И в самом конце как находить собственную функцию?

-- 03.06.2017, 12:28 --

Найти собственные значение и собственные вектора. :D :D :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Штурма-Лиувилля (усложненная)
Сообщение03.06.2017, 13:48 


25/08/11

1074
Мне кажется, что можно свести к обычной двухточечной краевой задаче с условием вида $u(0)=c u(1)$, если приравнять выражения для $u(1/2)$. Будет легче, и она везде решена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Штурма-Лиувилля (усложненная)
Сообщение03.06.2017, 16:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
1)  Используйте нормальные обозначения
2) Задача простая, но надо не забывать, что собственные значения могут быть и комплексными

3) Задача неестественная

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Штурма-Лиувилля (усложненная)
Сообщение03.06.2017, 17:36 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
sergei1961 в сообщении #1221752 писал(а):
Мне кажется, что можно свести к обычной двухточечной краевой задаче с условием вида $u(0)=c u(1)$, если приравнять выражения для $u(1/2)$.

Легче оказаться не может, т.к. требование в средней точке ниоткуда не следует, т.е. оно хоть в каком-то виде, но останется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Штурма-Лиувилля (усложненная)
Сообщение04.06.2017, 16:35 


25/08/11

1074
Red_Herring - насчёт неестественности не уверен, так как есть такой класс - многоточечные краевые задачи, это трёхточечная. Я про них мало знаю, но это целый раздел со своими специализированными монографиями и обширной литературой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Штурма-Лиувилля (усложненная)
Сообщение04.06.2017, 16:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
sergei1961 в сообщении #1222026 писал(а):
так как есть такой класс - многоточечные краевые задачи, это трёхточечная. Я про них мало знаю, но это целый раздел со своими специализированными монографиями и обширной литературой.
Ну и что? Есть куча противоестественных областей.
Да, есть многоточечные краевые задачи, но если говорить о естественных таких задачах, то обычно они получаются так: уравнения удовлетворяются между точками, а в точках условия склейки какого-либо типа. Ну м.б. периодичность или квазипериодичность в крайних точках.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Штурма-Лиувилля (усложненная)
Сообщение04.06.2017, 17:04 


25/08/11

1074
Для меня естественные. Да и зря Вы в очередной раз так безапелляционны в области, которой не занимаетесь, судя по всему. Соединяет непрерывный дифур, который получается из абстракций, с реальной возможностью что-то замерить у решения только в конечном числе точек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Штурма-Лиувилля (усложненная)
Сообщение04.06.2017, 18:25 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Так ведь задачка-то явно игрушечная, в смысле учебная. И как таковая -- неестественная безусловно. Ибо если за классическими З.Ш.-Л. всегда в учебных курсах стоит некая теория, какая бы даже ни была она куцей и урезанной -- за этой никакого вменяемого общего курса не проглядывает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Штурма-Лиувилля (усложненная)
Сообщение04.06.2017, 18:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
sergei1961 в сообщении #1222038 писал(а):
с реальной возможностью что-то замерить у решения только в конечном числе точек.
И откуда условия $u(a)=\alpha u(c), u(b)=\beta u(c)$?
ewert в сообщении #1222050 писал(а):
Так ведь задачка-то явно игрушечная, в смысле учебная.

И достоинство одно: явно решаемая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Штурма-Лиувилля (усложненная)
Сообщение04.06.2017, 18:34 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Ну и уж до кучи: при чём здесь вообще Штурм с Лиувиллем, если они даже не муж с женой?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Штурма-Лиувилля (усложненная)
Сообщение04.06.2017, 18:52 


25/08/11

1074
Написаны на одной башне, сам видел. Это ближе мужа с женой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Штурма-Лиувилля (усложненная)
Сообщение04.06.2017, 18:59 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

sergei1961 в сообщении #1222061 писал(а):
Написаны на одной башне, сам видел.

Это на той башне, где штаб-квартира производителей кальсон?.. -- совершенно не исключаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Штурма-Лиувилля (усложненная)
Сообщение04.06.2017, 19:01 


25/08/11

1074
Про кальсоны не знаю, видел на Эйфелевой. До этого думал, что Штурм немец, а не француз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Штурма-Лиувилля (усложненная)
Сообщение04.06.2017, 19:10 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Так, ув. sergei1961. Давайте дадим высказаться наконец топикстартеру. А то такое ощущение, что мы своими выпендриваниями его напрочь забили.

В этой ветке единственное вменяемое высказывание было, как мне кажется, это:

Red_Herring в сообщении #1221770 писал(а):
2) Задача простая, но надо не забывать, что собственные значения могут быть и комплексными

Ну и предыдущий пункт тоже, но он носил чисто технический характер.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Штурма-Лиувилля (усложненная)
Сообщение05.06.2017, 10:32 


22/03/17
8
Кто нибудь может дать конкретные ответы?
Правильно ли я веду решение?
Как работать с комплексными собственными значениями? Какие примерно будут получаться собственные функции?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group