Метод Галеркина для системы ДУЧП

[specialist]

Есть система уравнений ДУЧП:
$ \mathbf L _1 (u,v,w) - f_1(x) =0 $
$ \mathbf L _2 (u,v,w) - f_2(x) =0 $
$ \mathbf L _3 (u,v,w) - f_3(x) =0 $

По методу Галеркина и опираясь на книжку "Численные методы на основе метода Галеркина" К. Флетчера 1988 Мир. (стр 165) Представим приближенное решение в виде:
$ \overline u = \overline u_0 (x) + \sum\limits_{i=1}^n [a_i \varphi_i (x)] =0 $

$ \overline v = \overline v_0 (x) + \sum\limits_{i=1}^n [b_i \psi_i (x)] =0 $

$ \overline w = \overline w_0 (x) + \sum\limits_{i=1}^n [c_i \theta_i (x)] =0 $

Теперь подставим решения в систему, что бы найти невязки:
$ R_u = \mathbf L _1 (\overline u,\overline v,\overline w) - f_1(x) $
$ R_v = \mathbf L _2 (\overline u,\overline v,\overline w) - f_2(x) $
$ R_w = \mathbf L _3 (\overline u,\overline v,\overline w) - f_3(x) $

Далее составляется система $ 3n $ уравнений из которых мы находим неизвестные коэффициенты $ a_i , b_i , c_i $ :

$ (R_u, \varphi_i (x)) = 0 $
$ (R_v, \psi_i (x)) = 0 $
$ (R_w, \theta_i (x)) = 0 $

Ну и в конце вставляем их обратно в приближенное решение и получаем профит.

Вопросов несколько:
1) при решении мы же можем выбрать одинаковые интерполяционные функции $ \varphi_i (x) = \psi_i (x) = \theta_i (x)$ ? я так понимаю разные в учебнике они выбраны чтоб процесс быстрее сходился.
2) Когда мы подставляем приближенные решения в исходную систему и получаем невязки - понятно, но не ясно почему мы собираем систему для нахождения $ a_i , b_i , c_i $ именно в таком порядке:
$ (R_u, \varphi_i (x)) = 0 $
$ (R_v, \psi_i (x)) = 0 $
$ (R_w, \theta_i (x)) = 0 $

а почему не так:
$ (R_u, \theta_i (x)) = 0 $
$ (R_v, \varphi_i (x)) = 0 $
$ (R_w, \psi_i (x)) = 0 $

или не по другому?

Разбираюсь для себя, только из интереса.

[dsge]

1) удобнее работать, если базисные функции - собственные векторы операторов L, особенно если последние к тому же самосопряженные и эллиптические.
2) несвязка должна быть ортогональна именно к выбранному конечномерному подпространству.

[sup]

Формально, метод Галеркина использует произвольный базис. Поэтому разные компоненты решения можно разлагать по разным базисам. Для доказательства теоремы существования это, как правило, особого значения не имеет. В некоторых случаях используется специальный базис из собственных функций того или иного оператора (как уже упоминалось выше ). Другое дело, что от выбора базиса может меняться скорость сходимости приближенных решений.

А вот вопрос (2) более интересный. Выбор подпространства, на которое проектируется приближенная правая часть, целиком и полностью зависит от тех оценок, которые у нас имеются. Чаще всего метод Галеркина (и стационарный и "эволюционный") применяется, когда имеются оценки после умножения на $u$, $u_t$, $\Delta u$ итп. Тогда используется проектор на подпространство приближенных решений. Но в некоторых случаях оценки на решении получаются путем умножения на "сложные" агрегаты. Чтобы для приближенных решений иметь такие же оценки, следует использовать более хитрые проекторы. Так что могут использоваться и биортогональные системы и более сложные схемы. Для примера можно заглянуть в "хрестоматию".
Лионс. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. Глава 1, пункт 8. Пример одного сильно нелинейного уравнения. (стр. 122)
В этом примере приближенное решение строится с помощью некого базиса $\{w_j\}$, а проектор использует функции $\{Bw_j\}$.