Необычное определение простого числа

[Gagarin1968]

Добрый день.
Вчера вернулся из Канады - ездил погостить к сестре и племянникам. Сестра преподаёт математику в Университете Виктории (в Британской Колумбии). Преподаёт, в основном, вариационное исчисление, численные методы и методы оптимизации. Но дело не в этом.
У неё дома попалась мне на глаза универская методичка по теории чисел: "Methodical aid to the course of number theory". Как я понял, для второго года обучения. Правда, методичка древняя, 1989 года. Однако же начал читать и на 3-й странице застыл, протёр глаза, перечитал и не поверил. А написано было вот что (переписываю сюда дословно):
"As is known, the integer $p\in \mathbb{Z}$ is said to be a prime number if it has exactly $4$ divisors, namely $\pm 1 and \pm p$".
Что это? Кто-нибудь ещё считает это хорошо известным?

[iifat]

А что, собственно, вы имеете возразить? Ну да, обычно рассматривают натуральные простые. Кто-то решил рассмотреть целые. Его право, как по мне.

[Mikhail_K]

Gagarin1968 в сообщении #1221595 писал(а):

Что это? Кто-нибудь ещё считает это хорошо известным?

А что не так? Это определение в точности эквивалентно более привычному с двумя делителями. Разница только в том, как определять делитель - должен ли он быть натуральным или отрицательные целые тоже допускаются. (Некоторый минус такого допущения - становится неединственным разложение натурального числа на простые множители.)
В математике такое сплошь и рядом, когда авторы разных учебников вводят определения чуть-чуть по-разному.
Определение - это ведь не догма какая-то, отступать от которой - преступление. Видимо, автору этого учебника удобнее работать с делителями разных знаков.

[Gagarin1968]

Mikhail_K в сообщении #1221597 писал(а):

Некоторый минус такого допущения - становится неединственным разложение на простые множители.

Ну да, не выполняется основная теорема арифметики. И я перечитал учебники, и ни у Бухштаба, ни у Арнольда, ни у Виноградова ничего подобного нет.
Что, в математике нет общепринятых стандартов?

[Mikhail_K]

Gagarin1968 в сообщении #1221599 писал(а):

Что, в математике нет общепринятых стандартов?

В математике не нужна такая дотошность.
Потому что перевести любое утверждение с языка натуральных делителей на язык целых делителей и обратно - дело техники.

В математике существуют гораздо более серьёзные ситуации, в которых отсутствие стандартов реально способно ввести в заблуждение (Ваш пример - это как раз ерунда, ничего страшного). Некоторые из них описаны здесь: topic111446.html

[Gagarin1968]

Mikhail_K в сообщении #1221601 писал(а):

Некоторые из них описаны здесь: topic111446.html

Mikhail_K
Спасибо, ознакомился. Но ведь это, мягко говоря, нехорошо, когда нет устоявшейся терминологии.

[Xaositect]

Gagarin1968 в сообщении #1221604 писал(а):

Mikhail_K
Спасибо, ознакомился. Но ведь это, мягко говоря, нехорошо, когда нет устоявшейся терминологии.

Ну, если в начале книги написано, какая терминология используется, то это не так страшно.

[Gagarin1968]

Mikhail_K в сообщении #1221601 писал(а):

перевести любое утверждение с языка натуральных делителей на язык целых делителей и обратно - дело техники.

А вот с этим я не согласен. Попробуйте перевести на язык целых делителей, скажем, малую теорему Ферма, или теорему Вильсона. Похоже, вся арифметика поменяется. Я не прав?

[arseniiv]

Gagarin1968 в сообщении #1221599 писал(а):

Что, в математике нет общепринятых стандартов?

Плохо, если нет стандартов, и автор текста подумает, что они есть и недоопределит что-то, подумав, что все поймут его одинаково.

Gagarin1968 в сообщении #1221604 писал(а):

Но ведь это, мягко говоря, нехорошо, когда нет устоявшейся терминологии.

Ну тут уж ничего не сделаешь. Иногда есть просто несколько одинаково хороших определений. Иногда есть только одно, но не все в курсе. Иногда все в курсе, но мешает культурная инерция.

Gagarin1968 в сообщении #1221613 писал(а):

Попробуйте перевести на язык целых делителей, скажем, малую теорему Ферма, или теорему Вильсона. Похоже, вся арифметика поменяется.

Как она поменяется, если перевести правильно?

[kp9r4d]

Очевидный плюс такого определения в том, что оно больше походит на то, что происходит в гауссовых целых числах - там тоже есть подобная "почти факторизация", но домножать можно не только на $\pm 1$, но и на $\pm i$.

[Gagarin1968]

arseniiv в сообщении #1221615 писал(а):

Как она поменяется, если перевести правильно?

Как поменяется? Да пожалуйста.
Вот Вам малая теорема Ферма при данном в сабже определении простого:
$a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$. Если $p<0$, то слева - дробь. А дробь не может быть сравнима с чем-нибудь.
Я ж говорю, что поменяется арифметика.

[kp9r4d]

Gagarin1968
А можно и так.
$a^{|\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}^*|} \equiv 1 {\pmod {p\mathbb{Z}}}$

[Gagarin1968]

kp9r4d в сообщении #1221622 писал(а):

А можно и так.

Наверное, можно, но... как-то это искусственно, я бы даже сказал, противоестественно.

[kp9r4d]

Gagarin1968
$a^{|G|} = 1$ самая естественная вещь на свете ^^

[arseniiv]

Gagarin1968
А, отрицательные простые я проморгал. Ну так как самое простое включите дополнительное условие неотрицательности.

Gagarin1968 в сообщении #1221620 писал(а):

то слева - дробь

Вас подводит то, что вы думаете, что «дробь» — это диагноз. Но нет, «дробь» $8/4$ вполне принадлежит какому-нибудь там $\mathbb N$, а «дробь» $3^{-1}$ равна $5$ в, скажем, $\mathbb Z_7$.