2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Коммутатор левоинвариантных векторных полей
Сообщение02.06.2017, 05:54 
Заслуженный участник


31/12/15
922
Отрывок из книги Новиков, Тайманов "Современные геометрические структуры и поля" (можно кликать)

Изображение Изображение

Пытаюсь проверить формулы для коммутаторов вычислением и получаю наоборот

$[R_X,R_Y]=R_{[X,Y]}$
$[L_X,L_Y]=-L_{[X,Y]}$

Это кажется естественным, потому что умножение $A$ справа на $X$ (в определении $L_X$) это примерно "умножение слева на $X^T$", если $A$ записать как вектор-столбец высоты $n^2$, а дальше

$[X^T,Y^T]=-[X,Y]^T$
Вопрос: вычислял ли кто-нибудь и что получилось?

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутатор левоинвариантных векторных полей
Сообщение02.06.2017, 08:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Да вроде все так.
$X_A = a^i_jx^j\frac{\partial}{\partial x^i}, X_B=b^i_jx^j\frac{\partial}{\partial x^i}$
$[X_A,X_B] = (b^i_j a^j_k x^k - a^i_j b^j_k x^k)\frac{\partial}{\partial x^i} = X_{[B,A]}$
"Переворачивается".

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутатор левоинвариантных векторных полей
Сообщение02.06.2017, 16:44 
Заслуженный участник


31/12/15
922
Ага, я понял, почему там минус! (в определении линейных полей $T_A(x)=-Ax$)
Если взять без минуса $T_A(x)=Ax$, коммутатор будет с минусом
$[T_A,T_B]=-T_{[A,B]}$
Я как-то по умолчанию думал "если оба поля умножить на минус, ничего не изменится, минус на минус даёт плюс". А не тут то было! Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коммутатор левоинвариантных векторных полей
Сообщение02.06.2017, 18:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Ну да. А если не $x^i$, а $x_i$, то матрицы будут умножаться в правильном порядке.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group