Геометрическое место точек

[dima_1985]

Я думаю центр окружности будет лежать в точке M(3,5,1). Уравнение окружности будет иметь вид $ \left\{ \begin{array}{rcl} (x-3)^2+(y-5)^2+(z-1)^2 &=&16 \\ 2x+y+2z-13&=& 0\\ \end{array} \right. $

[gris]

Да, так оно и будет. Только первое уравнение я бы взял у первоначальной сферы. Это как-то естественней.
Одно хорошее уравнение окружности в трёхмерном пространстве нельзя получить. Ну разве что сложить квадраты $\big( (x-1)^2+...-25\big)^2 +\big( 2x+y+2s-13\big)^2=0$ Так же, как и прямой, например. Можно пересечь две поверхности, можно написать что-то параметрическое.
Если надо получить в ответе круг, то первое уравнение можно поменять на неравенство.

Для эллипсоида с разными длинами осей не пробовали прикинуть?

[Sinoid]

dima_1985 в сообщении #1221225 писал(а):

$
\left\{
\begin{array}{rcl}
(x-3)^2+(y-5)^2+(z-1)^2 &=&16 \\
2x+y+2z-13&=& 0\\
\end{array}
\right.
$

Если второе уравнение получено из

dima_1985 в сообщении #1221143 писал(а):

$2(x-3)+1(y-5)+2(z-2)=0$.

, то оно неверно.

[gris]

Точка $M(3,5,1)$. Скорее всего, ТС заметил и исправил свою ошибку(описку), а подкорректировать сообщение не успел

[dima_1985]

gris в сообщении #1221267 писал(а):

Для эллипсоида с разными длинами осей не пробовали прикинуть?

Ok. Попробовать будет интересно. Я взял произвольный эллипсоид $\frac{(x-1)^2}{25}+\frac{(y-4)^2}{16}+\frac{(z+1)^2}{9}=1$. Точка M без изменений $M(3,5,1)$. В сечении плоскостью получиться эллипс. Плоскость останется $2x+3y+2z-13=0$. Тут вся проблема в осях эллипса? Возьмем точку $K(x_0,y_0,z_0)$ и наложим ряд ограничений.$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{(x_0-1)^2}{25}+\frac{(y_0-4)^2}{16}+\frac{(z_0+1)^2}{9}&=&1 \\ 2x_0+3y_0+2z_0-13&=&0 \\ \sqrt{(3-x_0)^2+(5-y_0)^2+(1-z_0)^2}&\to&\max \\ \end{array} \right.$.Тогда $MK$ будет большая полуось искомого эллипса? Может можно проще?

[gris]

Тут вот какая загвоздка. Возьмём первоначальную сферу с точкой внутри, соединим центр сферы с точкой, поведём через точку плоскость, перпендикулярную этому отрезку и рассмотрим пересечение этой плоскости со сферой. Я повторил вкратце Ваше решение. На сфере получим окружность — искомое ГМТ. Если точка $M$, конечно, не совпадает с центром сферы.
А теперь применим для нашей сферы аффинное преобразование: два сжатия относительно произвольных плоскостей. При этом сфера перейдёт в эллипсоид, окружность в эллипс, все хорды в хорды, а их середины в середины. И ГМТ в ГМТ. Но угол между плоскостью и отрезком в общем случае перестанет быть прямым. И плоскость надо строить по-другому. Уравнение будет другим.
Тот же механизм действует и для двухмерного случая. На картинке видно, что если провести прямую перпендикулярно отрезку, то хорда не будет делиться пополам.

[dima_1985]

Может не стоит пытаться для эллипса что-то считать? Перенесем начало координат в точку $O(1,4,-1)$, точка $M(2,1,2)$.Тогда наше уравнение примет вид $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}+\frac{z^2}{9}=1$ Матрица перехода от $(e_1,e_2,e_3)$ к $(e_1',e_2',e_3')$ выглядит следующим образом A= $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{5} \end{pmatrix}$. Точка $M'(2,\frac{4}{5},\frac{6}{5})$. Вектор $O'M'(2,\frac{4}{5},\frac{6}{5})$. Меня смущает, что вектор $O'M'$ больно похож на исходный ?Наверно я что-то не так сделал ?

[gris]

А что не так? Я понял так: Вы сдвигаете конструкцию так, чтобы центр эллипсоида перешёл в ноль. Потом ужимаете эллипсоид в сферу. При этом точка тоже сдвигается. Теперь через эту точку проводите плоскость, перпендикулярную радиус-вектору точки. И получаете на сфере окружность: ГМТ для сферы. Теперь всё это дело разжимаете и сдвигаете обратно (а обязательно ли двигать туда-сюда?). Получится эллипс на эллипсоиде: ГМТ для эллипсоида.

[dima_1985]

Да, Вы все правильно поняли. Смущает то, что при умножении вектора $O'M'$ на $A^{-1}$ получим вектор $OM(2,1,2)$ т.е. как для сферы?Если мы на правильном пути, тогда получим

$$\left\{ \begin{array}{rcl} 2x'+\frac{4}{5}y'+\frac{6}{5}z'&=&0 \\ x'^2+y'^2+z'^2 &=&\frac{\sqrt{473}}{5} \\ \end{array} \right.$$

.

gris в сообщении #1222674 писал(а):

а обязательно ли двигать туда-сюда?

Оставим все в базисе $(e_1',e_2',e'_3)$?

[gris]

А что мы должны получить? $O'M'=OM\cdot A\Rightarrow OM=O'M'\cdot A^{-1}$
$M'$ для сферы, $M$ для эллипсоида. Только первое уравнение Вы написали для плоскости, которая проходит через ноль, а надо — через точку $M'$
И что это за странный квадрат радиуса сферы?
Ладно, давайте двигать. Так проще, кажется.

С утра решил не морочить Вам голову. А то у Вас сессия, наверное, и развлекаться ни к чему. Конечно, первоначальный способ верен и для эллипсоида. Система принадлежности к нему точки и её симметричного партнёра уже даёт решение. Если нужно, то можно вычесть уравнения друг из друга, квадратичные члены сократятся, и мы получим уравнение нашей плоскости. Просто иногда полезно увязывать формальное решение с наглядным. Для лучшего понимания. Ну это моё субъективное мнение .

[dima_1985]

gris в сообщении #1222757 писал(а):

$M'$ для сферы, $M$ для эллипсоида. Только первое уравнение Вы написали для плоскости, которая проходит через ноль, а надо — через точку $M'$

Да переделал
$ \left\{ \begin{array}{rcl} (x'-2)^2+(y'-\frac{4}{5})^2+(z'-\frac{6}{5})^2&=&\frac{\sqrt{473}}{5} \\ 25x'+10y'+15z'-76&=&0 \\ \end{array} \right. $.Я подвигал и нашел плоскость $25x+8y+9z-124=0$, но не ту. Должна быть 228x+225y+800z-2789=0? Буду искать ошибку.А как найти оси эллипса ?

[Skeptic]

Решение для плоскости хорд с серединой в токе $M$:
М.Я. Выгодский Справочник по высшей математики, Наука Москва 1964, стр. 185, п.155.