2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Прибл вычисл. Относит погрешность произведения и частного
Сообщение01.06.2017, 02:58 


15/04/10
985
г.Москва
Всю жизнь считал что относительная погрешность произведения и частного двух или нескольких приближенных величин равна сумме их относительных погрешностей
$\delta (x \cdot y)= \delta (\frac{x}{y}) =\delta x+ \delta y$
но недавно столкнулся с методичкой из МВТУ
А. И. Савельев, И. Н. Фетисов Обработка результатов измерений при проведении физического эксперимента
где фактически сказано что относительная погрешность произведения и частного двух приближенных величин равна корню их суммы квадратов их относительных погрешностей
$\delta (x \cdot y)= \delta (\frac{x}{y})=\sqrt {(\delta x)^2+ (\delta y)^2 }$
первая формула легко доказывается рассмотрением абсолютных погрешностей.
Какие причины приведения 2-й формулы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Прибл вычисл. Относит погрешность произведения и частного
Сообщение01.06.2017, 09:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Действительно, странно... Более точное равенство дает нам
$\delta (x \cdot y)= \delta (\frac{x}{y}) =\delta x+ \delta y +\delta x\delta y$
В то время как
$\sqrt {(\delta x)^2+ (\delta y)^2 } = \sqrt {(\delta x+ \delta y)^2 -2\delta x\delta y}$
При положительных погрешностях истинное значение $\delta (x \cdot y)$ больше суммы, а предложенная формула дает значение меньше, то есть не является улучшением.

Впрочем, дело может быть не в этом. На самом деле, отбрасывая величины второго порядка малости, мы увидим, что оба представления погрешности совпадают в главном, то есть экивалентны . А чем лучше формула в виде корня -- это уж надо смотреть контекст.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прибл вычисл. Относит погрешность произведения и частного
Сообщение01.06.2017, 09:20 


15/04/10
985
г.Москва
они вообще дают формулу для любой функции
$\Delta z=\sqrt {\frac{\partial f}{\partial x}\cdot (\Delta x)^2 +\frac{\partial f}{\partial y}\cdot (\Delta y)^2}$ для любой функции 2 переменных

 Профиль  
                  
 
 Re: Прибл вычисл. Относит погрешность произведения и частного
Сообщение01.06.2017, 09:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
eugrita в сообщении #1220752 писал(а):
где фактически сказано

А вы уверены, что там сказано именно это? Хорошо бы привести цитату.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прибл вычисл. Относит погрешность произведения и частного
Сообщение01.06.2017, 09:51 


15/04/10
985
г.Москва
ВОТ
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Прибл вычисл. Относит погрешность произведения и частного
Сообщение01.06.2017, 09:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
В теории размерных цепей (инженерной дисциплине) рассматривают два способа расчёта - по максимальным отклонениям (метод полной взаимозаменяемости) и вероятностный (метод неполной взаимозаменяемости). В первом случае возможные отклонения звеньев размерной цепи суммируются, во втором рассматриваются, как независимые случайные величины, так что суммируются их дисперсии, и в окончательной формуле появляется корень из суммы квадратов. Первый способ надёжнее, но при большом числе звеньев размерной цепи даёт завышенное значение допусков, поэтому используются оба.
По-видимому, автор методички исходит из предположения, что ошибки - независимые случайные величины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прибл вычисл. Относит погрешность произведения и частного
Сообщение01.06.2017, 10:03 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Можно предположить, что логика авторов была примерно такой. Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины. Тогда
$\textsf D(XY)=(\textsf MY)^2\,\textsf DX+(\textsf MX)^2\,\textsf DY+\textsf DX\,\textsf DY$
($\textsf M$ — мат.ожидание, $\textsf D$ — дисперсия)

С использованием среднеквадратичного отклонения:
$(\sigma (XY))^2=(\textsf MY)^2\,(\sigma (X))^2+(\textsf MX)^2\,(\sigma (Y))^2+(\sigma(X)\,\sigma (Y))^2$
Предположим, что с.к.о. гораздо меньше матожидания, тогда
$(\sigma (XY))^2=(\textsf MY)^2\,(\sigma (X))^2+(\textsf MX)^2\,(\sigma (Y))^2$
Разделим обе части на $(\textsf M(XY))^2=(\textsf M(X))^2 (\textsf M(Y))^2$:
$\frac{(\sigma (XY))^2}{(\textsf M(XY))^2}=\frac{(\sigma (X))^2}{(\textsf M(X))^2}+\frac{(\sigma (Y))^2}{(\textsf M(Y))^2}$
или
$\frac{\sigma (XY)}{\textsf M(XY)}=\sqrt{\left(\frac{\sigma (X)}{\textsf M(X)}\right)^2+\left(\frac{\sigma (Y)}{\textsf M(Y)}\right)^2}$

Теперь видно, что, скорее всего, авторы относительной погрешностью величины $X$ считают величину $\frac{\sigma (X)}{\textsf M(X)}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прибл вычисл. Относит погрешность произведения и частного
Сообщение01.06.2017, 12:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Уф... покрайней мере, частные производные в квадрат возводятся, в отличии от
eugrita в сообщении #1220798 писал(а):
$\Delta z=\sqrt {\frac{\partial f}{\partial x}\cdot (\Delta x)^2 +\frac{\partial f}{\partial y}\cdot (\Delta y)^2}$

Ко мне вернулась вера в человечество!

 Профиль  
                  
 
 Re: Прибл вычисл. Относит погрешность произведения и частного
Сообщение01.06.2017, 13:24 
Аватара пользователя


14/02/12

841
Лорд Амбера
Если попросту и отойти от произведения/частного и вернуться к более простому случаю суммы/разности, то первый случай приводит к теории допусков, где при определенном классе выполнения деталей гарантируется 100% накрутка гайки на болт или попадания болта в отверстие. А вероятностный подход хорошо проиллюстрировать примером из диетологии: среди видных диетологов (М. Гинзбург и пр.) стало модным отрицать возможность подсчет калорийности пищи на том основании, что погрешность таблиц калорийности с учетом кулинарной обработки потерь разных условий произрастания хранения и пр. ведет к погрешностям порядка 20%. А 20% от дневного рациона 2500 ккал дает 500 ккал - совершенно неприемлемая погрешность. Но с учетом того, что складываются дисперсии, а ошибки симметричны и скорей всего нормальны, и в неделю человек потребляет около 140-150 порций всевозможных продуктов примерно равной калорийности каждая, тогда относительная погрешность недельного рациона уменьшается в корень из (140-150) = 12 раз, и 20% преобразуются в 1,6%. Прекрасная точность, для практических целей диетологии годится. Но врачи не знают матстатистики, а скоро их заставят работать по протоколам (=алгоритмам) как на западе, тем самым запретив даже думать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прибл вычисл. Относит погрешность произведения и частного
Сообщение02.06.2017, 01:07 


15/04/10
985
г.Москва
Цитата:
Теперь видно, что, скорее всего, авторы относительной погрешностью величины $X$ считают величину $\frac{\sigma (X)}{\textsf M(X)}$.

т.е коэффициент вариации?
Эх, были когда-то когда-то у нас на кафедре информатики и прикл математики в ВУЗе элементы теории численных методов для инженеров.
Уже тогда я в меру своих возможностей начинал не с скажем с методов решения нелинейного уравнения - деления пополам, касательных Ньютона и проч а с элементов теории приближенных вычислений.
Сначала пусть считать правильно научатся, что такое значащие цифры, правила округления а потом более сложные вещи. - ведь ничего после школы не знают...А тут - сами видите куда загнули

 Профиль  
                  
 
 Re: Прибл вычисл. Относит погрешность произведения и частного
Сообщение02.06.2017, 01:15 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
eugrita в сообщении #1221389 писал(а):
т.е коэффициент вариации?
Простите, я не очень разбираюсь в этом, термин незнаком.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прибл вычисл. Относит погрешность произведения и частного
Сообщение02.06.2017, 01:18 


15/04/10
985
г.Москва
господи, основы матстатистики, Провинциалка не даст соврать!

 Профиль  
                  
 
 Re: Прибл вычисл. Относит погрешность произведения и частного
Сообщение02.06.2017, 01:20 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Ну, звиняйте...

 Профиль  
                  
 
 Re: Прибл вычисл. Относит погрешность произведения и частного
Сообщение02.06.2017, 07:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
Скорее "общей статистики", матстатистика коэффициент вариации не очень любит, он для некоторых распределений вообще бессмысленен, а практики используют, его интерпретировать просто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Прибл вычисл. Относит погрешность произведения и частного
Сообщение02.06.2017, 07:20 
Аватара пользователя


14/02/12

841
Лорд Амбера
eugrita в сообщении #1221394 писал(а):
господи, основы матстатистики, Провинциалка не даст соврать!

Положение ужасающее. Матстатистика и теорвер - мировоззренческая наука, похлеще любой философии. Ввели ведь в СШ, но сделали глупость - начиная с 5 класса по выпускной по несколько часов в год в курсе математики, в ЕГЭ скорей всего нет (как нет в ЕГЭ по физике включенной в курс физики астрономии), соответственно и не учат. Методист мне рассказывала, что когда ввели уроки теорвера в школе, хлынули на переподготовку школьные учителя математики, которые умудрились закончив пед не знать азов теорвера. При том, что в инженерных вузах после 3 семестров нормальной вышки 4-й семестр - исключительно теорвер по знаменитому учебнику Вентцель, она же И. Грекова.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: HungryLion, Mirage_Pick, tolstopuz


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group