2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Наследственность в мирах
Сообщение01.06.2017, 00:08 


03/06/12
2745
Здравствуйте! Развейте, пожалуйста, мои сомнения. Читаю у Верещагина, Шеня про модели Крипке. Это же область истинности наследственна вверх только у переменных, для формул же это утверждение неверно? Хотя ерунда какая-то получается: в силу индуктивного определения это утверждение верно и для произвольных формул.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наследственность в мирах
Сообщение01.06.2017, 00:49 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
(Не забудьте добавить «интуиционистской логики», а то есть модели Крипке модальных логик и тому подобные. (UPD: хотя чего это я, там же всё примерно то же самое.))

-- Чт июн 01, 2017 02:56:05 --

Sinoid в сообщении #1220713 писал(а):
Это же область истинности наследственна вверх только у переменных, для формул же это утверждение неверно? Хотя ерунда какая-то получается: в силу индуктивного определения это утверждение верно и для произвольных формул.
Да, и авторы это прямо ниже замечают:
Цитата:
Индукцией по построению формулы $A$ легко проверить, что если она истинна в каком-то мире, то истинна и во всех бо́льших мирах. В самом деле, <эскиз доказательства>

-- Чт июн 01, 2017 02:57:12 --

Иначе говоря, то, что когда-то открыли, уже не закроют. (См. комментарий к смыслу моделей Крипке.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Наследственность в мирах
Сообщение01.06.2017, 20:33 


03/06/12
2745
Изображение
Если это определение ложности формулы $A$, то как здесь
Изображение
внизу переменная $p$ ложная в меньшем мире, может быть истинной в большем?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наследственность в мирах
Сообщение01.06.2017, 21:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Если под ложность понимать истинность отрицания, то неверно, что $p$ ложна в меньшем мире.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наследственность в мирах
Сообщение02.06.2017, 13:29 


03/06/12
2745
mihaild в сообщении #1221230 писал(а):
Если под ложность понимать истинность отрицания, то неверно, что $p$ ложна в меньшем мире.

А тогда что верно? Значение Н-то существует не в мирах, а над ними.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наследственность в мирах
Сообщение02.06.2017, 15:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
В смысле - "что верно"?
Есть миры. В каждом мире каждая переменная может быть (истинной), а может не быть. Если переменная есть в каком-то мире, то она есть и во всех достижимых из него.
Кроме атомарных, в мире могут быть и какие-то другие формулы. Причем есть ли в мире данная формула - зависит не только от того, какие переменные есть в данном мире, но и какие переменные есть в достижимых мирах.
И в данном мире может не быть ни формулы $p$, ни формулы $\neg p$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наследственность в мирах
Сообщение02.06.2017, 22:39 


03/06/12
2745
mihaild в сообщении #1221527 писал(а):
В каждом мире каждая переменная может быть (истинной), а может не быть

Обозначим мир через $u$, а переменную через $p$. Запись $u\Vdash\neg p$ и предложение "В мире $u$ отсутствует переменная $p$" имеют разный смысл?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наследственность в мирах
Сообщение02.06.2017, 22:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Sinoid в сообщении #1221656 писал(а):
Запись $u\Vdash\neg p$ и предложение "В мире $u$ отсутствует переменная $p$" имеют разный смысл?
Да.
У нас каждому миру $u$ сопоставлено множество $A_u$ формул, которые в нем есть (для атомарных формул задается интерпретацией, остальные определяются по ней).
"В мире $u$ отсутствует $p$" означает $p \notin A_u$
$u \Vdash \neg P$ означает $\forall w \geqslant u: p \notin A_w$

 Профиль  
                  
 
 Re: Наследственность в мирах
Сообщение03.06.2017, 13:41 


03/06/12
2745
mihaild в сообщении #1221230 писал(а):
Если под ложность понимать истинность отрицания

mihaild в сообщении #1221527 писал(а):
Есть миры. В каждом мире каждая переменная может быть (истинной), а может не быть

Это означает, что предложение "формула $a$ ложна в мире $A$" означает, что в мире $A$ присутствует формула $\neg a$ и это предложение отлично от
mihaild в сообщении #1221660 писал(а):
$u \Vdash \neg P$ означает $\forall w \geqslant u: p \notin A_w$

Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наследственность в мирах
Сообщение03.06.2017, 15:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Открыл истончик на всякий случай
Верещагин, Шень, с. 65 писал(а):
Таким образом, чтобы доказать, что некоторая формула не выводима в интуиционистском исчислении высказываний, достаточнопредъявить шкалу Крипке, в одном из миров которой она ложна.
.
Тут под "ложностью" явно понимается "формула отсутствует в мире" (а не "присутствует отрицание"), с чем приведенное мной выше определение не согласуется.
Предлагаю перейти на определение от более умных людей.

Тогда утверждения "в мире отсутствует формула" и "в мире присутствует отрицание формулы" становятся различными.

А вот "в мире $A$ присутствует $\neg a$" - это просто словесная запись $A \Vdash \neg a$, всегда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наследственность в мирах
Сообщение04.06.2017, 20:30 


03/06/12
2745
mihaild в сообщении #1221760 писал(а):
всегда.

В смысле $\neg a$ присутствует в мирах, не меньших мира $A$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наследственность в мирах
Сообщение04.06.2017, 20:36 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Просто в мире $A$. То, что оно присутствует и в мирах, не меньших мира $A$, как и для любой составной формулы — следствие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наследственность в мирах
Сообщение04.06.2017, 21:27 


03/06/12
2745
arseniiv в сообщении #1222093 писал(а):
То, что оно присутствует и в мирах, не меньших мира $A$, как и для любой составной формулы — следствие.

Тогда пункт 4 индуктивного определения
Изображение
является некорректным или как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наследственность в мирах
Сообщение04.06.2017, 21:35 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ну почему? Пусть $w\Vdash\neg\varphi$. Тогда ни в каком из $w'>w$ не $w'\Vdash\varphi$. Значит, возьми мы какой-то конкретный $w'>w$, для всех $w''\geqslant w'$ не $w''\Vdash\varphi$, и потому $w'\Vdash\neg\varphi$.

Всё сходится, и это, собственно, как раз ведь шаг той индукции из доказательства того, что если $w\Vdash\varphi$ и $w'\geqslant w$, то $w'\Vdash\varphi.$

Можете написать подробнее, где вы видите противоречия и что конкретно на этом этапе осталось непонятным?

-- Вс июн 04, 2017 23:45:21 --

(Можно для самой ясной ясности ещё попробовать рисовать ациклические ориентированные графы, вершины которых — миры и $u\leqslant v$ равносильно тому, что из мира $u$ в мир $v$ есть путь. В вершине при этом могут лежать сколько-то атомов (можно рисовать вершины пустыми кругами и вписывать туда буквы), при этом обязательно все атомы из вершины «протекают» во все вершины, в которые из неё можно попасть. Потом можно подписывать около миров формулы, истинные в них.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Наследственность в мирах
Сообщение05.06.2017, 14:01 


03/06/12
2745
Разве пункт 4 индуктивного определения не будет следовать из такого определения:

$w\Vdash\neg A$, если в мире $w$ формула $A$ не истинна

? Ведь в этом определении не утверждается, что формула $A$ в мире $w$ ложна (отсутствует), в этом определении есть символы $w\Vdash$, смысл которых состоит в том, что они утверждают, что в мире $w$ присутствует нечто, связанное с формулой $A$, и, значит, ввиду требований, предъявляемых к $\Vdash$, это нечто будет присутствовать и в мирах, больших чем $w$. Т.е. получается, что пункт 4 индуктивного определения из книги будет следовать из определения, сформулированного в этом сообщении.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: lantza


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group