2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задача на сползание тела с полусферы
Сообщение31.05.2017, 14:53 


04/07/15
149
Здравствуйте. Нашёл на полке задачник по физике и залип. Никак не могу сдвинуться с места.
Текст задачки:
Небольшое тело скользит с вершины сферы вниз. На какой высоте $h$ тело оторвется от поверхности сферы радиусом $R$? Трением пренебречь.
Если $h$ отсчитывать от поверхности Земли, то получаются два уравнения:
$$\left\{
\begin{array}{ccc}
mgR & = \frac{mv^2}{2}+mgh& \\
\frac{mv^2}{R}& = mg\cos(\alpha)& \\
h & = R\cos(\alpha)& \\
\end{array}
\right.$$
Нахожу $\cos(\alpha) = \frac{2}{3}$, сходится с ответом.
Но, если $h$ брать от вершины, начинаются проблемы. Долго вспоминая школьных курс физики, пришёл к такому. Объяснить не могу, ответ совпадает с найденным в сети.
$$\left\{
\begin{array}{ccc}
mgh & = \frac{mv^2}{2}& \\
\frac{mv^2}{R}& = mg\cos(\alpha)& \\
h & = R- R\cos(\alpha)& \\
\end{array}
\right.$$
Объясните почему так можно делать?
P.S
Переносим начало отсчета в точку с $N= 0$, и поэтому $h = 0$.

 i  Pphantom:
Название изменено на более соответствующее содержанию задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на скатывание шара с полусферы
Сообщение31.05.2017, 15:01 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Во-первых, перепишите первое уравнение второй системы к виду, максимально похожему на первое уравнение первой. Во-вторых - что, собственно, оба эти уравнения выражают?

P.S. А еще отдельные обозначения тоже нужно оформлять правильно. Выше я их уже поправил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на скатывание шара с полусферы
Сообщение31.05.2017, 15:03 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
Заголовок, кстати, не соответствует содержанию. При скатывании шара уравнения будут другие.

-- 31.05.2017, 19:06 --

Orkimed
Можно заменить $h$ во второй системе, например, на $y$. И посмотреть, что будет при подстановке $y=R-h$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на скатывание шара с полусферы
Сообщение31.05.2017, 15:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
DimaM в сообщении #1220504 писал(а):
При скатывании шара уравнения будут другие.

Безусловно. Ещё момент: какая начальная скорость? Нулём она быть не может, иначе шарик будет торчать на вершине в положении неустойчивого равновесия. Важно здесь, однако, что шарик скользит вдоль меридиана (иначе всё гораздо сложнее)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на скатывание шара с полусферы
Сообщение31.05.2017, 15:11 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
Red_Herring в сообщении #1220509 писал(а):
Ещё момент: какая начальная скорость? Нулём она быть не может, иначе шарик будет торчать на вершине в положении неустойчивого равновесия.

Любая сколь угодно малая, неустойчивость же.

Red_Herring в сообщении #1220509 писал(а):
Важно здесь, однако, что шарик скользит вдоль меридиана (иначе всё гораздо сложнее)

Именно что скользит, а не скатывается, как в заголовке. И с полюса кроме как вдоль меридиана не скользнуть :wink: .

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на скатывание шара с полусферы
Сообщение31.05.2017, 15:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4265
Имхо, удобнее всего в качестве координаты тела (до момента его отрыва) ввести угол между его радиус-вектором и вертикалью. За начало отсчёта принимаем центр сферы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на скатывание шара с полусферы
Сообщение31.05.2017, 15:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
DimaM в сообщении #1220515 писал(а):
Любая сколь угодно малая, неустойчивость же.
Поскольку высота отрыва зависит от начальной скорости, то в условиях стоило отметить, что начальная скорость мала и зависимостью от нее следует пренебречь

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на скатывание шара с полусферы
Сообщение31.05.2017, 16:00 


04/07/15
149
Pphantom
Первый закон ньютона и закон сохранения механической энергии.
Первое уравнения второй системы и так максимально похоже. Потенциальная энергия $=$кинетической.
Вся проблема в том, что если подставить высоту из второй системы в первую, получается белиберда.
Пока вопрос открыт. На основании чего я могу сделать такую хитрость? Переместить начало отсчета в точка отрыва шарика от поверхности.
Забыл сказать, задачник Бендрикова. Так что "сложных случаев" быть не может.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на спрозание тела с полусферы
Сообщение31.05.2017, 16:11 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Почему Вы говорите о переносе начала отсчёта высоты в точку отрыва? Ведь во второй системе высота отсчитывается от верхней точки сферы (вниз).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на спрозание тела с полусферы
Сообщение31.05.2017, 16:21 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Orkimed в сообщении #1220534 писал(а):
Первый закон ньютона и закон сохранения механической энергии.
Именно закон сохранения механической энергии. Сформулируйте его и перепишите первое равенство второй системы так, чтобы оно буквально соответствовало этой формулировке (или, как вариант, таки перепишите его в виде, максимально похожем на тот же закон из первой системы).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на сползание тела с полусферы
Сообщение31.05.2017, 19:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
DimaM в сообщении #1220515 писал(а):
Именно что скользит, а не скатывается, как в заголовке.

Час от часу не легче. Теперь шарик сползает

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на сползание тела с полусферы
Сообщение31.05.2017, 22:58 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Ну кстати с шариком точно задачу так просто точно не решить.
Перед самым отрывом реакция опоры стремится к нулю и в какой-то момент шарик таки начнет сползать с проскальзыванием.
Можно найти при каком угле начнется проскальзывание и при каком угле он оторвется в предположении что проскальзывания нет. Так что решение будет где-то между двумя этими углами. Интересно, а можно ли поточнее решить эту задачу?

-- 31.05.2017, 12:07 --

Erleker
Реакция опоры при том, что когда у нас она стремится к нулю, сила трения стремится к нулю и начнется проскальзывание. Мы начнем терять энергию. И в результате шарик оторвется быстрее, чем без проскальзывания. С проскальзыванием он будет быстрее набирать линейную скорость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на сползание тела с полусферы
Сообщение31.05.2017, 23:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
В задаче предполагается, что шарик (а точнее, очень маленькое тело), просто скользит по поверхности полусферы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на сползание тела с полусферы
Сообщение31.05.2017, 23:41 
Заморожен


16/09/15
946

(Оффтоп)

fred1996 в сообщении #1220679 писал(а):
Реакция опоры при том, что когда у нас она стремится к нулю, сила трения стремится к нулю и начнется проскальзывание. Мы начнем терять энергию. И в результате шарик оторвется быстрее, чем без проскальзывания. С проскальзыванием он будет быстрее набирать линейную скорость.

Это понятно.Но я сказал не об этом.Впрочем, я понял, что сказал не то, и удалил свое сообщение.

Но вообще, да, нужно найти угол скольжения.До него считать $mv^2$.А потом писать ЗСЭ уже без учета энергии на "раскручивание".И потом все тоже самое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на сползание тела с полусферы
Сообщение01.06.2017, 05:48 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
Red_Herring в сообщении #1220529 писал(а):
Поскольку высота отрыва зависит от начальной скорости, то в условиях стоило отметить, что начальная скорость мала и зависимостью от нее следует пренебречь

Да, вы правы.
При ненулевой начальной скорости задача тоже решается, кстати.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group