Как найти углы Эйлера системы из 2-х ортогональных векторов?

[iKest]

Есть система из двух векторов: вектор определяющий наклон системы и ортогональный ему радиус-вектор, определяющий собственное вращение системы. Помогите найти углы Эйлера или кватернион данной системы.
Я так понимаю, что надо найти нормаль к этим двум векторам (при помощи векторного произведения), определить новый базис, найти матрицу вращения между базисами (Mrot = Mrot_basis • Morig_basis^-1 ) и из неё уже искать углы... Как-то всё это математически выразить? Или может есть другой путь? Спасибо.

[svv]

А как конкретно эти два вектора определяют наклон и собственное вращение? Они являются образами векторов исходного базиса, или как-то иначе?
P.S. Пожалуйста, используйте $\TeX$ для записи формул, на нашем форуме это обязательно.

[iKest]

Да, они являются образами векторов исходного базиса. Примем, для примера, за начальное положение системы, когда эти векторы коллинеарны двум векторам базиса.

[arseniiv]

Ну то есть у вас были, скажем, $\mathbf e_1,\mathbf e_2\;(,\mathbf e_3=\mathbf e_1\times\mathbf e_2)$, и получились $\mathbf f_1,\mathbf f_2\;(,\mathbf f_3=\mathbf f_1\times\mathbf f_2)$. Один из путей — очевидный, но, наверно, не обязательно оптимальный для того или иного типа результата — таков:

Чтобы получить $\mathbf f_i$, надо сначала повернуть плоскость $\langle\mathbf e_1,\mathbf e_2\rangle$ до плоскости $\langle\mathbf f_1,\mathbf f_2\rangle$, а потом повернуть полученные $\mathbf e'_i$ в этой плоскости до $\mathbf f_i$. Для первой задачи надо найти ось вращения, являющуюся пересечением плоскостей (если они совпадают, этот шаг пропускаем целиком), записать вращение вокруг неё и найти угол; для второй достаточно вспомнить, что $\mathbf f_1 = \mathbf e'_1\cos\theta - \mathbf e'_2\sin\theta$. Из полученных данных должно быть можно сконструировать хоть матрицу оператора вращения, хоть углы Эйлера, хоть кватернион, хоть ротор алгебры Клиффорда (который будет выглядеть практически как кватернион, но при этом всё будет честнее).

Да поправит меня svv.