Значение функции плотности вероятности единица

[hedgehogues]

Как интерпретировать плотность распределения $f(x)$, для которой на нескольких событиях, она принимает значение $1$? В таком случае оказывается, что несколько событий одновременно должны оказаться свершившимися.

Пример.

$f(0.5) = 1$
$f(0.6) = 1$

Как возможно, что одновременно существует и $0.5$ и $0.6$ c вероятностью 1?

[mihaild]

Во-первых, у вас в заголовке "плотность", а в тексте "функция распределения". Это разные, хотя и связанные, вещи.
Во-вторых, напишите по-человечески, что вы рассматриваете - распределение (тогда о каких событиях идет речь?) или аж целую случайную величину (на каком пространстве? с какими свойствами?).

[Евгений Машеров]

И даже больше единицы может быть. Поскольку плотность вероятности это не вероятность.

[ewert]

hedgehogues в сообщении #1220226 писал(а):

В таком случае оказывается, что несколько событий одновременно должны оказаться свершившимися.

Тут ключевое слово -- "должны". Оно в вероятностях неуместно.

[Евгений Машеров]

Тут подводит "обратная логика". Для дискретной одномерной величины переход от вероятностей событий к функции распределения делается суммированием вероятностей, для непрерывной одномерной - интегрированием плотности вероятности. И делается вывод, что плотность вероятности и значения вероятностей дискретных событий это одно и то же. Но он неверен.
Плотность распределения p(x) не является вероятностью того, что случайная величина равна x. Она вообще вероятностью не является, хотя используется в расчётах вероятностей.
Для непрерывной величины говорить о вероятности того, что она в точности равна x, бессмысленно, можно говорить о том, что $x-\varepsilon<\xi<x+\varepsilon=F(x+\varepsilon)-F(x-\varepsilon)\approx2\varepsilon p(x)$
Последнее приближённое равенство говорит кое-что о вероятностях, но главное даже не то, что оно приближённое, а то, что p(x) это не вероятность сама по себе, а множитель при ширине интервала, вероятность попадания в который мы вычисляем. У плотность вероятности даже размерность иная, это не безразмерная величина, как вероятность, а обратная размерности переменной x.

[fractalon]

Вероятность того, что случайная величина с непрерывной ограниченной функцией распределения примет какое-то конкретное значение, всегда равна единице. Представьте себе, что вы измеряете, например, уровень воды в случайно налитом стакане - какова вероятность того, что он окажется ровно 0.34 доли стакан? Вот ровно 0.34, не 0.3400002 и не 0.33999998? Практически никакая.
Так что для непрерывных величин график плотности распределения отображает не вероятность тех или иных точек а относительную вероятность их окрестностей относительно друг друга. То есть если в двух точках плотность величины одна и та же (будь она хоть 1, хоть 100, хоть 0.0001), то это означает только, что в очень близкую окрестность одной из этих точек случайная величина будет попадать приблизительно так же часто, как в очень близкую окрестность второй точки. При этом суть понятия "очень близко" в двух точках может различаться ровно в той степени, в какой различно изменение функции распределения в окрестности этих двух точек.

[mihaild]

А еще плотность вообще бессмысленно рассматривать в конкретной точке, т.к. плотности, отличающиеся на множестве нулевой меры (в частности, в конечном числе точек) задают одно и то же распределение.

[fractalon]

fractalon в сообщении #1220480 писал(а):

Вероятность того, что случайная величина с непрерывной ограниченной функцией распределения примет какое-то конкретное значение, всегда равна единице.

Виноват, опечатался, вероятность всегда будет равна нулю.

[hedgehogues]

Евгений Машеров в сообщении #1220402 писал(а):

Тут подводит "обратная логика". Для дискретной одномерной величины переход от вероятностей событий к функции распределения делается суммированием вероятностей, для непрерывной одномерной - интегрированием плотности вероятности. И делается вывод, что плотность вероятности и значения вероятностей дискретных событий это одно и то же. Но он неверен.
Плотность распределения p(x) не является вероятностью того, что случайная величина равна x. Она вообще вероятностью не является, хотя используется в расчётах вероятностей.
Для непрерывной величины говорить о вероятности того, что она в точности равна x, бессмысленно, можно говорить о том, что $x-\varepsilon<\xi<x+\varepsilon=F(x+\varepsilon)-F(x-\varepsilon)\approx2\varepsilon p(x)$
Последнее приближённое равенство говорит кое-что о вероятностях, но главное даже не то, что оно приближённое, а то, что p(x) это не вероятность сама по себе, а множитель при ширине интервала, вероятность попадания в который мы вычисляем. У плотность вероятности даже размерность иная, это не безразмерная величина, как вероятность, а обратная размерности переменной x.

Я не очень понимаю, где происходит нестыковка при переходе от дискретного случая к непрерывному. В чём принципиальное отличие? Получается, что мы не можем по плотности вероятности вычислить вероятность события? Тогда в чём суть плотности вероятности? Что она задёт и для чего нужна?

-- 01.06.2017, 12:07 --

fractalon в сообщении #1220480 писал(а):

Вероятность того, что случайная величина с непрерывной ограниченной функцией распределения примет какое-то конкретное значение, всегда равна единице.

Вероятно, Вы ошиблись. Не единице, а нулю, я полагаю.

fractalon в сообщении #1220480 писал(а):

Представьте себе, что вы измеряете, например, уровень воды в случайно налитом стакане - какова вероятность того, что он окажется ровно 0.34 доли стакан? Вот ровно 0.34, не 0.3400002 и не 0.33999998? Практически никакая.

Здесь идёт речь и множестве меры нуль, верно?

fractalon в сообщении #1220480 писал(а):

Так что для непрерывных величин график плотности распределения отображает не вероятность тех или иных точек а относительную вероятность их окрестностей относительно друг друга.

Правильно ли я понял Вашу мысль, проверте, пожалуйста. Мы рассматриваем две окрестности:

$x_0-\varepsilon<\xi<x_0<+\varepsilon=F(x_0+\varepsilon)-F(x_0-\varepsilon)\approx2\varepsilon p(x_0) = A$
$x_1-\varepsilon<\xi<x_1<+\varepsilon=F(x_1+\varepsilon)-F(x_1-\varepsilon)\approx2\varepsilon p(x_1) = B$

После этого мы их можем сравнивать (например, меньше или больше):

$(A, B) \Leftrightarrow (p(x_0), p(x_1))$,

где $(\cdot,\cdot)$ -- некоторое бинарное отношение.

Как я уже спрашивал выше. Могли бы Вы пояснить смысл значений функции распределения. А в особенности нормировку, заданную интегралом по множеству, который должен быть равен 1?

[arseniiv]

hedgehogues в сообщении #1220839 писал(а):

Я не очень понимаю, где происходит нестыковка при переходе от дискретного случая к непрерывному. В чём принципиальное отличие? Получается, что мы не можем по плотности вероятности вычислить вероятность события? Тогда в чём суть плотности вероятности? Что она задёт и для чего нужна?

Но вы же уже посмотрели её определение, или ещё нет? Если нет, то о чём может быть разговор? Если да, то что там не прояснило ситуацию?

[hedgehogues]

arseniiv в сообщении #1220847 писал(а):

hedgehogues в сообщении #1220839 писал(а):

Я не очень понимаю, где происходит нестыковка при переходе от дискретного случая к непрерывному. В чём принципиальное отличие? Получается, что мы не можем по плотности вероятности вычислить вероятность события? Тогда в чём суть плотности вероятности? Что она задёт и для чего нужна?

Но вы же уже посмотрели её определение, или ещё нет? Если нет, то о чём может быть разговор? Если да, то что там не прояснило ситуацию?

Посмотрел, разумеется. Но, почему во время предельного перехода возникает ситуация, в результате которой плотность распределения перестаёт отвечать понятию вероятности?

[Mikhail_K]

hedgehogues в сообщении #1220854 писал(а):

Посмотрел, разумеется. Но, почему во время предельного перехода возникает ситуация, в результате которой плотность распределения перестаёт отвечать понятию вероятности?

Потому что плотность вероятности - это предел не самой вероятности, а отношения вероятности попасть в маленький интервал к длине этого интервала.
Если бы мы находили предел самой вероятности, то получили бы нуль, а не что-то интересное.

[provincialka]

Ведь слово "плотность" тут не случайно возникло! Это аналогия с физической плотностью, которая есть предел отношения массы к объему. Вас не удивляет, что тело массой 1 г и объемом 1 куб.см может в некоторой точке иметь плотность 1 кг/куб.см.? Ну, уплотнение у него там!

[Евгений Машеров]

Потому, что плотность распределения вероятностей не есть вероятность. Это производная функции распределения. Вот она первична, функция распределения, и для дискретных и непрерывных распределений имеет один смысл.
Поэтому нормировка выбрана не произвольно, а потому, что интеграл от плотности имеет содержательный смысл, и интеграл, взятый от минус бесконечности до плюс бесконечности есть функция распределения от бесконечности, равная вероятности того, что случайная величина не больше бесконечности, то есть единице, как вероятность достоверного события.

(Оффтоп)

ведь как-нибудь да было! Никогда так не было, чтобы никак не было.

[Mikhail_K]

Скажу ещё проще.

hedgehogues в сообщении #1220839 писал(а):

Могли бы Вы пояснить смысл значений функции распределения. А в особенности нормировку, заданную интегралом по множеству, который должен быть равен 1?

Вы думали, что вероятность равна плотности вероятности, и удивились, что плотность вероятности может быть больше единицы.
Но вероятность - это не плотность вероятности, а интеграл от неё.
Вероятность попасть в тот или иной интервал равна интегралу от плотности вероятности по этому интервалу.
Вот почему интеграл от плотности вероятности не может превышать единицу - потому что это вероятность и есть.